[論文レビュー] Complex Numbers in n Dimensions

Silviu Olariu|ArXiv.org|Nov 8, 2000

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 7被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、n次元における可換超複素数の2つの異なる体系——極座標型と平面型——を導入し、幾何的変数と方位角を用いて指数関数的表現を導出する。また、三角関数および双曲線関数の一般化として余指数関数を定義し、n-複素多項式の因数分解と経路積分の残差の定義を可能にすることで、高次元複素解析における代数的・幾何的・解析的構造を統合する。

ABSTRACT

This monograph presents a detailed analysis of hypercomplex numbers in 2, 3 and 4 dimensions, then presents the properties of hypercomplex numbers in 5 and 6 dimensions. It continues with a detailed analysis of hypercomplex numbers in n dimensions, and two distinct systems of commutative complex numbers are described, of polar and planar types. Exponential forms of n-complex numbers are given in each case, which depend on geometric variables. Azimuthal angles, which are cyclic variables, appear in these forms at the exponent, and this leads to the concept of residue for path integrals of n-complex functions. The exponential function of an n-complex number is expanded in terms of functions called in this paper cosexponential functions, which are generalizations to n dimensions of the circular and hyperbolic sine and cosine functions. The factorization of n-complex polynomials is discussed. The essence of this monograph is the interplay between the algebraic, the geometric and the analytic facets of the relations.

研究の動機と目的

• 2次元を超える高次元への複素数の概念の拡張を、n次元超複素代数へと展開すること。
• 2次元、3次元、4次元、5次元、6次元における可換超複素数の体系的枠組みを構築すること。
• 幾何的変数と周期的方位角を用いて、n-複素数の指数関数的表現を定義すること。
• 三角関数および双曲線関数をn次元に一般化した余指数関数を定義すること。
• 周期的角変数に基づくn-複素関数の経路積分の残差論を確立すること。

提案手法

• n次元における特定の代数的規則に従う2つの異なる可換超複素数体系（極座標型と平面型）を導入する。
• 方位角が指数部に現れる形で、n-複素数の指数関数的表現を幾何的構造を活用して導出する。
• 正弦、余弦、双曲正弦、双曲余弦の一般化として、余指数関数を定義し、n-複素数の指数関数的展開に寄与する。
• 半径成分や角成分などの幾何的変数を用いてn-複素数をパラメータ化し、その解析的性質を分析する。
• 周期的方位角の概念を応用し、n次元複素空間における閉曲線積分の残差を定義する。
• 余指数関数の代数的・解析的性質と対称性を用いて、n-複素多項式の因数分解を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換性と解析的構造を保ちつつ、複素数をn次元超複素代数へ一貫的に一般化する方法は何か？
• RQ2 n次元における円関数および双曲線関数を一般化する適切な指数関数および余指数関数は何か？
• RQ3 n-複素数の指数関数の指数部に現れる周期的方位角は、経路積分の残差論をどのように導くか？
• RQ4 極座標型と平面型の2つの異なる可換n-複素数体系が特徴づけられる代数的・幾何的性質は何か？
• RQ5 一般化された余指数関数とその対称性を用いて、n-複素多項式はどのように因数分解可能か？

主な発見

• 本稿では、n次元における2つの異なる可換超複素数体系（極座標型と平面型）を構築し、それぞれが独自の代数的・幾何的性質を持つことを示した。
• n-複素数の指数関数的表現は、方位角を周期的変数として用いることで導出され、高次元における解析接続および積分計算を可能にする。
• 正弦、余弦、双曲正弦、双曲余弦の一般化として、余指数関数が導入され、n-複素数の指数関数的展開の基盤をなす。
• n-複素空間における経路積分の残差は、周期的方位角を用いて定義され、複素解析を高次元へ拡張する。
• 余指数関数の代数的構造とその対称性を用いて、n-複素代数における多項式の因数分解が達成された。
• 代数的規則、幾何的変数、解析的関数の相乗的関係が、n次元複素解析の構造統合に不可欠であることが示された。