[論文レビュー] Complex oscillations in the delayed Fitzhugh-Nagumo equation

Maciej Krupa, Jonathan Touboul|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2014

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 38被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、遅れを持つ遅い-速いダイナミクスを示す遅れ付きFitzHugh-Nagumo方程式を調査し、時間遅れが、混合モード振動（MMOs）、バースト、カオスを引き起こす遅れ誘発の亜臨界定常Bogdanov-Takens不安定性を介して、複雑な周期的挙動を誘発することを示している。幾何学的特異摂動理論と数値継続法を用いて、カーネイド誘発のダイナミクスから遅れ主導のダイナミクスへの鋭い遷移が明らかになった。特に、遅れフィードバックによりホッフ分岐の臨界定常性が変化し、小さな遅れを超えて、系の周期的挙動領域が根本的に変化することが判明した。

ABSTRACT

Motivated by the dynamics of neuronal responses, we analyze the dynamics of the Fitzhugh-Nagumo slow-fast system with delayed self-coupling. This system provides a canonical example of a canard explosion for sufficiently small delays. Beyond this regime, delays significantly enrich the dynamics, leading to mixed-mode oscillations, bursting and chaos. These behaviors emerge from a delay-induced subcritical Bogdanov-Takens instability arising at the fold points of the S-shaped critical manifold. Underlying the transition from canard-induced to delay-induced dynamics is an abrupt switch in the nature of the Hopf bifurcation.

研究の動機と目的

• 時間遅れが、特に小さな遅れの範囲を超えて、遅い-速いFitzHugh-Nagumo系のダイナミクスを根本的にどのように変化させるかを理解すること。
• 神経系モデルにおける自己遅れ結合によって誘発される、複雑な周期的挙動（MMOs、バースト、カオス）の出現を調査すること。
• 遅い変数が有限次元で、速いダイナミクスに遅れを含む系に、幾何学的特異摂動理論（GSPT）を拡張すること。
• カーネイド誘発振動から遅れ誘発不安定性への遷移、特にホッフ分岐の臨界定常性の変化を特定すること。
• 生物学的神経系やより広範な力学系理論に関連する遅れ誘発の複雑なダイナミクスの理論的・数値的基盤を提供すること。

提案手法

• ε → 0として遅い・速いダイナミクスを分離するため、遅れ付きFitzHugh-Nagumo系の形式的解析を幾何学的特異摂動理論（GSPT）を用いて実施。
• Fenichel理論およびHupkesとSandstedeによる最近の結果を応用し、遅れ付き系における遅い多様体の存在を確立。
• 記号計算（Maple®）を用いてホッフ分岐における正規形を計算し、係数および第一リャプノフ係数を導出。
• 周期軌道の数値継続およびシミュレーションにより、遅れτの変化に伴うMMOs、バースト、カオス的遷移を探索。
• 速い部分系の臨界定常多様体と固定点の安定性を分析し、遅れ誘発不安定性の起源たるBogdanov-Takens特異点を同定。
• 分散関係および特性方程式を用いて、特にγ ≠ 0の場合の平衡解の安定性を検討。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間遅れは、FitzHugh-Nagumo系における標準的なカーネイド爆発現象をどのように変化させるか？
• RQ2 遅れ付きFitzHugh-Nagumoモデルにおける混合モード振動（MMOs）およびバーストの背後にある力学的メカニズムは何か？
• RQ3 遅れフィードバックによりホッフ分岐の臨界定常性はどのように変化し、カオスへの遷移においてその役割は何か？
• RQ4 速いダイナミクスにおけるBogdanov-Takens特異点は、遅れ下で複雑な周期的パターンを生成するにあたり、果たす役割は何か？
• RQ5 幾何学的特異摂動理論は、遅れを含む速いダイナミクスを持つ系へどの程度一般化可能か？

主な発見

• 遅れは、S字型臨界定常多様体の折りたたみ点で、亜臨界定常Bogdanov-Takens不安定性を誘発し、小さな遅れの範囲を超えて複雑なダイナミクスを生じる。
• カーネイド誘発と遅れ主導のダイナミクスの間には鋭い遷移が生じ、ホッフ分岐の臨界定常性の変化がその特徴である。
• MMOsは、遅れフィードバックと臨界定常多様体の折りたたみ構造との相互作用によって生じ、標準的なMMOメカニズムとは異なる。
• 中程度から大きな遅れに対しては、安静状態と高速振動状態を交互に繰り返すバーストダイナミクスが出現し、MMOとバーストの間でカオス的遷移が観察された。
• 数値シミュレーションにより、τ > 1/Jおよびε = 0.05の場合、遅れが増加するに従い、系がMMOsからカオスへ、さらにバーストへと遷移することが確認された。これは生物学的神経記録のダイナミクスと一致する。
• 記号計算により算出された第一リャプノフ係数は、遅れ付き系におけるホッフ分岐の亜臨界定常性を裏付け、複雑な周期的およびカオス的解の発生を可能にする。