[論文レビュー] Complex oscillatory patterns near singular Hopf bifurcation in a two time-scale ecosystem

Susmita Sadhu|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2019

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 55被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、時間スケールの分離を伴う2捕食者1被捕食者生態系において、幾何学的特異摂動論および分岐解析を用いて、複雑な周期的ダイナミクスを調査する。特筆すべきは、特異ホップ分岐点近くで長期間にわたるカオス的ミックスドモード振動（MMOs）が発生することであり、ここで小振幅振動が数百～数千世代にわたり持続し、その後周期的吸引子へと移行する。この現象は、種内競争および捕食効率パラメータによって駆動される。

ABSTRACT

We consider an ecological model consisting of two species of predators competing for their common prey with explicit interference competition. With a proper rescaling, the model is portrayed as a singularly perturbed system with one-fast (prey dynamics) and two-slow variables (dynamics of the predators). The model exhibits variety of rich and interesting dynamics, including, but not limited to mixed mode oscillations (MMOs), featuring concatenation of small and large amplitude oscillations, relaxation oscillations and bistability between a semi-trivial equilibrium state and a coexistence oscillatory state. Existence of co-dimenison two bifurcations such as fold-Hopf and generalized Hopf bifurcations make the system further intriguing. More interestingly, in a neighborhood of {\emph{singular Hopf}} bifurcation, long lasting transient dynamics in form of chaotic MMOs or relaxation oscillations are observed as the system approaches the periodic attractor born out of supercritical Hopf bifurcation or a semi-trivial equilibrium state respectively. The transient dynamics could persist for hundreds or thousands of generations before the ecosystem experiences a regime shift. The time series of population cycles with different types of irregular oscillations arising in this model stem from a biological realistic feature, namely, by the variation in the intraspecific competition amongst the predators. To explain these oscillations, we use bifurcation analysis and methods from {\emph{geometric singular perturbation theory}}.

研究の動機と目的

• 2捕食者1被捕食者生態系における明示的な種内干渉競争を考慮したもとで、複雑な周期的パターン、特にミックスドモード振動（MMOs）の出現を理解すること。
• 速い被捕食者と遅い捕食者ダイナミクスによる時間スケールの分離が、リラクゼーション振動、二安定性、および長期間のトランジェントといった豊かなダイナミカルな行動をどのように生じさせるかを分析すること。
• 種内競争および捕食効率が分岐構造および一時的ダイナミクスに与える影響を調査すること。
• 2型折りたたみ鞍節点（FSN II）分岐点付近における長期間にわたるカオス的MMOsの背後にあるメカニズムを同定すること。

提案手法

• 捕食者-被捕食者ダイナミクスのスケーリングされたロトカ＝ヴォルテラモデルに基づき、1つの速い変数（被捕食者）および2つの遅い変数（捕食者）を有する特異摂動系を定式化する。
• 幾何学的特異摂動論を用いて、吸引および反発する分岐を含む遅い多様体の構造とそのねじれの性質を分析する。
• 局所的およびグローバルな分岐解析を実施し、折りたたみホップ分岐や一般化ホップ分岐を含むコディメンション2分岐を同定する。
• 数値継続法およびODE45（MATLAB）を用い、高い許容誤差（相対誤差10−11、絶対誤差10−12）で軌道をシミュレートし、MMOsを検出する。
• 一時的吸引域とそのフラクタルに似た構造を検討し、初期条件および環境的摂動への感受性を評価する。
• FSN II点付近における「入り方／出ていく方」関数を調査し、カノイド誘発振動における遅延効果を理解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 種内競争および捕食効率が、2捕食者1被捕食者系におけるミックスドモード振動の出現にどのように共同で影響を与えるか？
• RQ2 特異ホップ分岐点付近で観察される長期間にわたるカオス的トランジェントダイナミクスの背後にあるメカニズムは何か？
• RQ3 遅い多様体の幾何構造およびそのねじれの性質が、カノイド誘発小振幅振動の形成にどのように影響を与えるか？
• RQ4 折りたたみホップ分岐や一般化ホップ分岐といったコディメンション2分岐が、複雑な周期的ダイナミクス領域をどのように組織化するか？
• RQ5 一時的吸引域の構造が、摂動下における生態系の予測可能性およびレジリエンスにどのように寄与するか？

主な発見

• 特異ホップ分岐点（FSN II点）付近で、数百～数千世代にわたって持続する小振幅振動（SAOs）を有するカオス的ミックスドモード振動（MMOs）が観察された。
• システムは、最終的に超臨界的ホップ分岐から生じる小振幅周期的吸引子に収束する長期間のトランジェントを示し、その吸引子は広い吸引域を有する。
• 特にねじれを示す遅い多様体の構造が、MMOsにおけるSAOsの存在と持続時間の決定要因となり、ダイナミクスは捕食効率（β1, β2）に極めて感受性を示す。
• 分岐解析により、折りたたみホップ分岐や一般化ホップ分岐を含むコディメンション2分岐が存在することが判明し、複雑なダイナミカル遷移を組織化している。
• 一時的吸引域は、複雑で、おそらくフラクタルに似た構造を示しており、初期条件および環境変動への感受性が顕著であることを示している。
• トーラス様振動に伴う境界平衡点の出現は、生態的恒常性およびバーストダイナミクスとの潜在的関連性を示唆し、神経系におけるそれらと類似している可能性がある。