[論文レビュー] Complex product structures on some simple Lie groups

Stefan Ivanov, Vasil Tsanov|ArXiv.org|May 31, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、実リー群 $SL(2m-1,\mathbb{R})$、$SU(m,m-1)$、および $(SL(2m-1,\mathbb{C}))^{\mathbb{R}}$ 上に左不変な複素積構造を構成し、明示的な代数的構成によりその存在を証明する。主な貢献は、$SU(m,m-1)$ および $(SL(2m-1,\mathbb{C}))^{\mathbb{R}}$ 上で、これらの構造が双不変キリング計量と整合することを示し、その結果、共(compact)離散部分群による商をとることで、コンパクトで非平坦かつ中性のエインシュタイン多様体が得られることを示している。

ABSTRACT

We construct invariant complex product (hyperparacomplex, indefinite quaternion) structures on the manifolds underlying the real noncompact simple Lie groups $SL(2m-1,\RR)$, $SU(m,m-1)$ and $SL(2m-1,\CC)^\RR$. We show that on the last two series of groups some of these structures are compatible with the biinvariant Killing metric. Thus we also provide a class of examples of compact (neutral) hyperparahermitean, non-flat Einstein manifolds.

研究の動機と目的

• 実半単純リー群、特に $SL(2m-1,\mathbb{R})$ および $SU(m,m-1)$ 上に、明示的かつ左不変な複素積構造を構成すること。この文脈では、それらは以前に知られていなかった。
• これらの複素積構造が $SU(m,m-1)$ および $(SL(2m-1,\mathbb{C}))^{\mathbb{R}}$ 上で双不変キリング計量と整合することを示し、それにより適合する擬リーマン計量の構成が可能になること。
• 共(compact)離散部分群による商をとることで、コンパクトで非平坦かつ中性のエインシュタイン多様体の新しい例を生成すること。
• 明示的なパラメータ化された構成を用いて、可解群および再帰的群における複素積構造の既知の結果を、半単純リー群へと拡張すること。

提案手法

• アーベル部分代数 $\mathfrak{z}$（$U^1, \dots, U^{m-1}$ で張られる）を用いて、$su(m,m-1)$ および $sl(2m-1,\mathbb{R})$ のリー代数上に複素積構造 $(P,J)$ の族を構成する。
• 基底要素 $Z^j, V^j, S^j, T^j, U_j^k, V_j^k, S_j^k, T_j^k$ 上で $P$ と $J$ を定義し、線形拡張により $P^2 = -J^2 = 1$ および $PJ = -JP$ を満たすようにする。
• アーベル部分代数 $\mathfrak{z}$ の要素 $Z$ に対して $[Z, J(X)] = J([Z,X])$ および $[Z, P(X)] = P([Z,X])$ を用いて、$P$ および $J$ の積分可能性を確認する。これは、そのネイヘンイウステンソルが消えることの確認に帰着する。
• キリング形式（または複素化された代数におけるその実部）が $P$ および $J$ に関して保存されることを示すことで、計量の整合性を証明する。指定されたノルムを持つ正規直交基底を用いる。
• $su(m,m-1)$ 上での作用の複素化を用いて、$sl(2m-1,\mathbb{C})^{\mathbb{R}}$ 上への複素積構造への拡張を行う。また、トレース形式の実部との整合性を検証する。
• ボレルの定理を適用し、$SU(m,m-1)$ および $(SL(2m-1,\mathbb{C}))^{\mathbb{R}}$ に共(compact)離散部分群 $\Gamma$ が存在することを結論づけ、それにより適合する中性エインシュタイン計量を持つコンパクトな商多様体の構成が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半単純な実リー群、たとえば $SL(2m-1,\mathbb{R})$ や $SU(m,m-1)$ 上に、不変な複素積構造を構成できるか？
• RQ2 これらの複素積構造は、$SU(m,m-1)$ および $(SL(2m-1,\mathbb{C}))^{\mathbb{R}}$ 上で双不変キリング計量と整合するか？
• RQ3 群 $G$ が $SU(m,m-1)$ または $(SL(2m-1,\mathbb{C}))^{\mathbb{R}}$ で、$\Gamma$ が共(compact)離散部分群であるとき、商多様体 $G/\Gamma$ はコンパクトで非平坦かつ中性のエインシュタイン多様体をもたらすか？
• RQ4 複素化を用いて、$sl(2m-1,\mathbb{C})$ 上の複素積構造は、その実形式 $su(m,m-1)$ 上の複素積構造から導けるか？
• RQ5 キリング形式における基底要素のノルムはどのように振る舞い、計量の整合性に何を意味するか？

主な発見

• 本稿は、すべての $m > 1$ に対して、$SL(2m-1,\mathbb{R})$ および $SU(m,m-1)$ 上に左不変な複素積構造を、リー代数の基底上で明示的なパラメータ化された作用 $P$ および $J$ を用いて構成する。
• $SU(m,m-1)$ において、キリング形式はアーベル部分代数 $\mathfrak{z}$ 上で負定値であり、基底要素のノルムは $\|Z^j\|^2 = \|V^j\|^2 = \|U_j^k\|^2 = \|V_j^k\|^2 = -1$、$\|S^j\|^2 = \|T^j\|^2 = \|S_j^k\|^2 = \|T_j^k\|^2 = 1$ である。これにより計量の整合性が保証される。
• $sl(2m-1,\mathbb{C})^{\mathbb{R}}$ 上の複素積構造は、トレース形式の実部と整合する。これはキリング形式に比例し、実部および虚部の基底要素のノルムは $K(iZ,iZ) = K(iU,iU) = K(iV,iV) = K(S,S) = K(T,T) = 1$ および $K(Z,Z) = K(U,U) = K(V,V) = K(iS,iS) = K(iT,iT) = -1$ を満たす。
• 共(compact)離散部分群 $\Gamma$ を用いた商多様体 $SU(m,m-1)/\Gamma$ および $(SL(2m-1,\mathbb{C}))^{\mathbb{R}}/\Gamma$ は、複素積構造がキリング計量と整合するため、コンパクトで非平坦かつ中性のエインシュタイン多様体である。
• 埋め込みを用いて、$GL(2m,\mathbb{R})$ および $U(m,m)$ は、それぞれ $SL(2m+1,\mathbb{R})$ および $SU(m+1,m)$ の中で複素積部分多様体として拡張可能である。
• $sl(2m-1,\mathbb{C})$ 上の複素積構造は、その複素化上でのハイパーコンプレックス構造として生じる。アンドラダとサラモンの結果により、$SL(2m-1,\mathbb{C})$ は同調的なハイパーコンプレックス構造を有することが確認される。