[論文レビュー] Complex Quantum Chern-Simons

Jørgen Ellegaard Andersen, Rinat Kashaev|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 9被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、Pontryagin自己双対な局所コンパクトアーベル群 $ A $ を用いて、3次元多様体の形状付き三角形分割に対する位相的量子場理論（TQFT）を構築する。状態積分は、Faddeevの五角形関係を満たす量子ダイログラミスに基づく。主な結果として、$ A = \mathbb{R} \times \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} $ の場合、TQFTは複素数のゲージ群 $ SL(2,\mathbb{C}) $ に対するレベル $ N $ の量子チャーン・サイモンズ理論を実現する。これは幾何的量子化によって確認された。

ABSTRACT

We lay down a general framework for how to construct a Topological Quantum Field Theory $Z_A$ defined on shaped triangulations of orientable 3-manifolds from any Pontryagin self-dual locally compact abelian group $A$. The partition function for a triangulated manifold is given by a state integral over the LCA $A$ of a certain combinations of functions which satisfy Faddeev's operator five term relation. In the cases where all elements of the LCA $A$ are divisible by 2 and it has a subgroup $B$ whose Pontryagin dual is isomorphic to $A/B$, this TQFT has an alternative formulation in terms of the space of sections of a line bundle over $(A/B)^{2}$. We apply this to the LCA $\mathbb{R} imes \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ and obtain a TQFT, which we show is Quantum Chern-Simons theory at level $N$ for the complex gauge group $SL(2,\mathbb{C})$ by the use of geometric quantization.

研究の動機と目的

• Pontryagin自己双対なLCA群から、向き付け可能な3次元多様体の形状付き三角形分割に対するTQFTを体系的に構築する一般枠組みを構築すること。
• 自己双対LCA群上での量子ダイログラミスを、Faddeevの構成の一般化として形式化すること。
• このようなTQFTと、$ SL(2,\mathbb{C}) $ に対するレベル $ N $ の量子チャーン・サイモンズ理論との間の関係を確立すること。
• 群 $ A $ が2次可除で $ A/B \cong \widehat{B} $ であるとき、TQFTを $ (A/B)^2 $ 上の線分束の切断としての別表現にすること。
• 群 $ A = \mathbb{R} \times \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} $ に対して得られる理論が、レベル $ N $ の複素量子チャーン・サイモンズ理論と等価であることを示すこと。

提案手法

• TQFTは、Faddeevの作用素五角形関係を満たす関数を用いた、自己双対LCA群 $ A $ 上の状態積分により定義される。
• この構成は、$ A $ 上の量子ダイログラミスに依存しており、最も単純な場合は $ \mathbb{R} $ 上のFaddeevの元来の関数である。
• $ A = \mathbb{R} \times \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} $ の場合、理論はテンソル積空間 $ L^2(\mathbb{R}) \otimes L^2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}) $ 上で作用する演算子 $ \mathsf{p}, \mathsf{q}, \mathsf{X}, \mathsf{Y} $ を用いて定式化される。これらの演算子は、標準的交換関係およびクロス関係を満たす。
• 五角形関係は関数的差分方程式とスペクトル定理の議論を用いて検証され、TQFT振幅の整合性が保証される。
• 複素シンプレクティック構造を持つ $ \mathrm{GL}(2,\mathbb{C}) $ 接続のモジュライ空間に対して、幾何的量子化が適用され、Pennerの $ \lambda $-座標から導かれる比座標が用いられる。
• 状態関数をモデル化するための荷電波動関数 $ \psi_{\sqrt{N}a,\sqrt{N}c} $ が導入され、フーリエ変換および逆変換の公式による変換則が、分配関数の整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Pontryagin自己双対LCA群 $ A $ を用いて、状態積分と量子ダイログラミスに基づき、TQFTを体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 $ A $ がどのような条件下で、TQFTが $ (A/B)^2 $ 上の線分束の切断としての別表現をもつのか？
• RQ3 群 $ A = \mathbb{R} \times \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} $ に対して構築されたTQFTと、$ SL(2,\mathbb{C}) $ に対するレベル $ N $ の量子チャーン・サイモンズ理論との正確な関係は何か？
• RQ4 荷電波動関数およびその変換性が、3次元多様体の分配関数における整合性をどのように保証するか？
• RQ5 演算子代数とスペクトル理論を用いて、$ \mathbb{R} \times \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} $ 上の量子ダイログラミスの五角形関係を検証できるか？

主な発見

• 群 $ A = \mathbb{R} \times \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} $ に対するTQFTは、モジュライ空間上の複素シンプレクティック構造の幾何的量子化により、$ SL(2,\mathbb{C}) $ に対するレベル $ N $ の量子チャーン・サイモンズ理論と等価であることが示された。
• $ \mathbb{R} \times \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} $ 上の量子ダイログラミスは、Faddeevの五角形関係を位相因子 $ \mu \in \mathbb{T} $ を伴って満たすが、生成演算子と可換であることから、この位相因子がスカラーであることが証明された。
• 荷電波動関数 $ \psi_{\sqrt{N}a,\sqrt{N}c} $ は、フーリエ変換および逆変換の法則に従う変換則を満たし、以前のTQFT構成と類似した性質を持つため、状態和の整合的評価が可能である。
• 形状付き三角形分割された3次元多様体の分配関数は、状態積分形式を用いて計算可能であり、荷電関数とその双対関数が指数的減衰性とユニタリティを保証する。
• 群 $ A $ が2次可除で $ A/B \cong \widehat{B} $ であるとき、理論は $ (A/B)^2 $ 上の線分束の切断としての別表現を持つ。これは、幾何的解釈を簡潔に与える。
• 本構成は、Faddeevの量子ダイログラミスを非コンパクト群および有限群へ一般化し、実群と離散量子群を1つのTQFT枠組みに統合した。