[論文レビュー] Complex scaling for the Dirichlet Laplacian in a domain with asymptotically cylindrical end

Victor Kalvin|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2009

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、漸近的に円柱型の端を持つ領域におけるディリクレラプラシアンに対して、複素スケーリング法を展開し、共鳴状態がメロモーレックに拡張されたリゾルベント行列要素の極に対応することを確立した。主な結果は、ディリクレラプラシアンは特異連続スペクトルをもたず、その固有値は、無限遠における計量の収束が任意に遅くても、微分同相の解析的仮定のもとで、閾値値にしか集積しないことである。

ABSTRACT

We develop the complex scaling method for the Dirichlet Laplacian in a domain with asymptotically cylindrical end. We define resonances as discrete eigenvalues of non-selfadjoint operators, obtained as deformations of the selfadjoint Dirichlet Laplacian $Δ$ by means of the complex scaling. The resonances are identified with the poles of the resolvent matrix elements $((Δ-μ)^{-1}F, G)$ meromorphic continuation in $μ$ across the essential spectrum of $Δ$, where $F$ and $G$ are elements of an explicitly given set of partial analytic vectors. It turns out that the Dirichlet Laplacian has no singular continuous spectrum, and its eigenvalues can accumulate only at threshold values of the spectral parameter.

研究の動機と目的

• 無限遠における計量の収束が任意に遅くても、漸近的に円柱型の端を持つ領域におけるディリクレラプラシアンへの複素スケーリング法の拡張を図ること。
• リゾルベント行列要素 $((\Delta - \mu)^{-1}F, G)$ のメロモーレックに拡張されたものとしての共鳴状態を定義すること。ここで $F, G$ は部分的解析的ベクトルの集合に属する。
• 無限遠における計量の収束に関する強い減衰仮定がなくても、ディリクレラプラシアンが特異連続スペクトルをもたないことを証明すること。
• 微分同相の解析的条件のもとで、固有値がスペクトルパラメータの閾値値にしか集積しないことを示すこと。

提案手法

• 複素スケーリング法は、複素変数変換によるディリクレラプラシアンの変形によって適用され、複素スケーリングパラメータ $\lambda$ が領域 $\mathcal{D}_\alpha$ に属するようにパrameter化される。
• 変形された作用素 $^\lambda\!\Delta$ のスペクトルは、m-セクタリオル作用素の理論とアグイラール＝バールス＝コムベスの枠組みを用いて分析される。
• リゾルベント行列要素 $((\Delta - \mu)^{-1}F, G)$ が $F, G \in \mathcal{A}$ のもとで、本質的スペクトルを越えてメロモーレックに拡張可能となるような、部分的解析的ベクトルの稠密集合 $\mathcal{A}$ が構成される。
• 物理空間におけるリゾルベントとスケーリングされた作用素のリゾルベントを結ぶリゾルベント恒等式の解析的接続によって、メロモーレック拡張が確立される。
• スケーリングされた計量下での $L^2$ 内積の非退化性と、$\vartheta_\lambda[\mathcal{A}]$ が $L^2(\mathcal{G})$ で稠密であることに依拠する。
• スケーリングされた作用素のリゾルベントの極が物理空間のリゾルベント行列要素の極に対応することを示すことによって、共鳴状態を極として同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限遠における計量の収束が任意に遅くても、漸近的に円柱型の端を持つ領域におけるディリクレラプラシアンへの複素スケーリング法の拡張は可能か？
• RQ2 ディリクレラプラシアンの共鳴状態は、メロモーレックに拡張されたリゾルベント行列要素の極として特徴づけられるか？
• RQ3 与えられた幾何的・解析的仮定のもとで、ディリクレラプラシアンは特異連続スペクトルをもつのか？
• RQ4 このような領域において、固有値はスペクトルパラメータの閾値値にしか集積しないのか？
• RQ5 解析的仮定のもとで、ディリクレラプラシアンのスペクトルはスケーリング関数 $v$ の選択に依存しないのか？

主な発見

• リゾルベント行列要素の解析的接続と、スケーリングされた作用素のスペクトルの可算性に起因して、ディリクレラプラシアンは特異連続スペクトルをもたないことが示された。
• 共鳴状態は、メロモーレックに拡張されたリゾルベント行列要素の非実数の極として同定され、複素スケーリング作用素の非実数固有値に対応する。
• ディリクレラプラシアンの固有値は、アグイラール＝バールス＝コムベスの定理に整合して、スペクトルパラメータの閾値値にしか集積しない。
• 共鳴状態の集合と本質的スペクトルは、スケーリング関数 $v$ の選択に依存せず、無限遠における微分同相の解析的性質にのみ依存する。
• ディリクレラプラシアンの固有値は有限重複度をもち、複素スケーリングによるスペクトル分離のおかげで、閾値にのみ下からの集積が可能である。
• $F, G \in \mathcal{A}$ に対して、リゾルベント行列要素 $((\Delta - \mu)^{-1}F, G)$ はリーマン面へメロモーレックに拡張可能であり、その極はまさに共鳴状態と埋め込まれた固有値に対応する。