[論文レビュー] Complex singularities and PDEs

M. Sammartino, Gargano, F.+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2015

Mathematical and Theoretical Analysis被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、解析接続とスペクトル解析を用いた非線形偏微分方程式（PDE）における複素特異点の検出に向けた計算手法をレビューする。フーリエスペクトル、パデ近似、フィルタリング技術を用いた特異点追跡により、バーガース方程式、KP方程式、プランドル方程式、ナビエ＝ストークス方程式などの方程式における特異点形成を検討し、有限時間で立方根型特異点が形成され、重なり合う複素特異点が分散的ショック波の振動を説明していることが明らかになった。

ABSTRACT

In this paper we give a review on the computational methods used to characterize the complex singularities developed by some relevant PDEs. We begin by reviewing the singularity tracking method based on the analysis of the Fourier spectrum. We then introduce other methods generally used to detect the hidden singularities. In particular we show some applications of the Padé approximation, of the Kida method, and of Borel-Polya method. We apply these techniques to the study of the singularity formation of some nonlinear dispersive and dissipative one dimensional PDE of the 2D Prandtl equation, of the 2D KP equation, and to Navier-Stokes equation for high Reynolds number incompressible flows in the case of interaction with rigid boundaries.

研究の動機と目的

• 非線形PDEの解における複素特異点を同定するための計算技術の開発とレビューを行う。
• 2次元プランドル方程式やナビエ＝ストークス方程式などの流体力学的モデルにおける有限時間特異点形成の物理的意義を理解すること。
• 実軸に最も近い特異点よりも内側に存在する「隠れた特異点」が、ショック波や剥離現象にどのように寄与するかを分析すること。
• 特異点追跡およびパデ近似を用いて、分散的・散乱的PDEにおける特異点の性質、位置、形成時刻を検出すること。
• 複素特異点が、KP方程式のような分散優勢型方程式におけるショック波近傍のモード化された振動を説明する役割を調査すること。

提案手法

• 複素平面における解析接続の幅（解析性帯の幅）を推定するために、フーリエスペクトルに基づく特異点追跡法を用いる。
• ラプラス漸近公式を適用し、フーリエモードの減衰率と近接する複素特異点の位置を関連付ける。
• 収束半径を超えて解を解析接続し、隠れた特異点を検出するためにパデ近似を用いる。
• キダのフィルタリング法およびボレル＝ポリア＝ヴァン・デル・ホーヴェン法を用い、多次元的および非解析的領域における複素特異点を検出する。
• シェル合計振幅解析を用いてフーリエモードの減衰を追跡し、時間経過に伴う解析性帯の幅を推定する。
• 波数空間における特徴的な方向に沿ったフーリエスペクトルの減衰を分析することで、多次元的特異点追跡を実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形PDEにおける有限時間特異点形成は、複素解析接続を用いてどのように検出され、特徴づけられるか？
• RQ2 隠れた複素特異点は、境界層剥離や分散的ショック波といった物理現象を説明するために果たす役割は何か？
• RQ3 分散的および散乱的項は、KP方程式やバーガース方程式のような方程式における複素特異点の形成および性質にどのように影響を与えるか？
• RQ4 パデ近似およびスペクトルフィルタリング法は、実軸に最も近い特異点ではない複素特異点を信頼性高く検出できるか？
• RQ5 解析性帯の幅の角度的およびパラメトリック依存性は、多次元PDEにおける特異点の空間的構造をどの程度明らかにするか？

主な発見

• ε=0 の2次元KP方程式では、時間 T*≈0.2216 に立方根型特異点が形成され、その位置は実軸上に x*≈-1.79 に位置する。
• 解析性帯の幅が T*≈0.2216 でゼロに収束するため、解析性の喪失と有限時間特異点形成が示された。
• 最も特異的な方向は θ=0 であり、特異点は y≈0 に局在しているため、法線変数をパラメータとして用いることができる。
• ε=0.1 の場合、実特異点は形成されず、解析性帯はゼロから離れた範囲を維持し、x*≈-1.79 の近傍にモード化された振動が現れる。
• ε=0.1 に対するパデ近似は、実軸に近い場所に重なり合う複素特異点を示しており、これが観測された周期的構造の背後にある要因であると示唆している。
• 角度およびy依存の解析性帯幅 δ(θ) および δ(y) の分析により、δ(y) が y=0 で最小値を示すことが確認され、特異点が原点に集中していることが裏付けられた。