[論文レビュー] Complex structure degenerations and collapsing of Calabi-Yau metrics

Song Sun, Ruobing Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、射影空間内のカルラヤ・ハイパーサーフェスの退化族において、メトリックの収縮と複素構造の退化の間の明示的かつ正確な関係を確立する。特に、中心ファイバーが2つの滑らかでフェノンハイパーサーフェスの横断的合併である場合に焦点を当てる。トーラス対称ケーラー計量を用いたグリューリングおよび特異摂動技法により、カルラヤ計量が退化の双対複体にホメオモーティックな極限空間に収縮することを証明し、ネック領域はティアン＝ヨウ空間に従い、極限測度は代数幾何的データを反映する。

ABSTRACT

In this paper, we make progress on understanding the collapsing behavior of Calabi-Yau metrics on a degenerating family of polarized Calabi-Yau manifolds. In the case of a family of smooth Calabi-Yau hypersurfaces in projective space degenerating into the transversal union of two smooth Fano hypersurfaces in a generic way, we obtain a complete result in all dimensions establishing explicit and precise relationships between the metric collapsing and complex structure degenerations. This result is new even in complex dimension two. This is achieved via gluing and singular perturbation techniques, and a key geometric ingredient involving the construction of certain (not necessarily smooth) Kähler metrics with torus symmetry. We also discuss possible extensions of this result to more general settings.

研究の動機と目的

• 退化族におけるカルラヤ多様体のGromov-Hausdorff極限を理解すること、特に収縮の状況において。
• 特定のクラスのハイパーサーフェスにおいて、カルラヤ計量の収縮と複素構造の代数的退化の間の正確な幾何的対応を確立すること。
• 特異摂動およびグリューリング法を用いて、退化族のネック領域における近似カルラヤ計量を構成すること。
• 測度付きGromov-Hausdorff位相における主な収束結果を証明するため、解像された全空間 $\widehat{X}_t$ におけるグローバル重み付き解析を実施すること。

提案手法

• 重み付き Hölder 空間を用いて、退化の中心ファイバー上の $S^1$-バンドルに $C^{2,\bar{\alpha}}$-ケーラー構造の族を構成する。
• 線形化されたカルラヤ方程式と特異摂動論を用いて、トーラス対称性を持つネック領域における不完全なカルラヤ計量を解く。
• フェノン多様体における反標準的除集合の補集合に於けるティアン＝ヨウ計量を、収縮ネックのモデル空間として用いる。
• 誤差項の制御と摂動計量の収束を保証するため、重み付き解析およびリウヴィル型定理を適用する。
• モデル計量の漸近的挙動と族のグローバル幾何を一致させるために、パrameter $t$ と $T$ を一致させる。
• 解像された全空間 $\widehat{X}_t$ においてグローバル重み付き解析を実施し、測度付きGromov-Hausdorff位相における主な収束結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素構造が2つのフェノンハイパーサーフェスの合併に退化する際、ハイパーサーフェスのカルラヤ計量はどのように収縮するか？
• RQ2 収縮極限におけるネック領域の正確な幾何的構造は何か？また、中心ファイバーの幾何とどのように関係するか？
• RQ3 Gromov-Hausdorff極限における正規化された極限測度は、Poincaré残留や非アーチメデス的Monge-Ampère方程式といった代数幾何的不変量の観点から解釈可能か？
• RQ4 事前に複素族の存在を仮定しない状況でも、ティアン＝ヨウ計量を共通の除集合を跨いでグリューリングし、収縮幾何をモデル化することはどの程度可能か？
• RQ5 $t=0$ の近傍におけるカルラヤ計量の精密な漸近展開は、双曲幾何における展開と類似するものがあるか？

主な発見

• $|t| \to 0$ のとき、$(X_t, \omega_{CY,t})$ のGromov-Hausdorff極限は、退化の双対複体 $\Delta(\mathcal{X})$ にホメオモーティックなコンパクトな測度付き距離空間 $(B, d_B, d\underline{\nu}_0)$ である。
• Colding-Naber の意味における極限空間 $B$ の次元は、退化の中心ファイバー成分の複素次元 $d$ に等しい。
• 正規化された極限測度 $d\underline{\nu}_0$ は、正規化された体積形式 $d\underline{\nu}_t$ の弱収束として生じ、その代数幾何的意味はPoincaré残留および非アーチメデス的Monge-Ampère方程式に関係すると予想される。
• 小さな $t$ における $X_t$ のネック領域は、フェノン多様体における除集合の補集合に於ける $T^1$-不変カルラヤ計量でモデル化され、漸近的挙動はティアン＝ヨウ空間と一致する。
• 極限空間 $B$ は $D \times \mathbb{R}$ に等長である。ここで $D$ は滑らかな完全交差 $Y_1 \cap Y_2$ であり、収縮は円周ファイバーに沿って発生する。
• 本構成は、すべての次元 $n \geq 2$ において収縮幾何を完全に記述するものであり、従来の結果（複素次元2に限られていた）を拡張する。