[論文レビュー] Complex Structures in Electrodynamics

Stoil Donev|ArXiv.org|Jun 12, 2001

Geophysics and Sensor Technology被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、古典電磁力学における基本的な外部構造は、擬計量テンソルではなく、複素構造 Φ であると主張している。4次元微分形式形式化において、マクスウェル方程式は Φ にのみ依存しており、これは双対性および共形対称性を符号化している。すべての擬計量的構造（例えばミンコフスキー計量）は二次的であり、事前に必要とされないため、標準的および拡張型電磁力学のより深い幾何的基盤が得られる。

ABSTRACT

In this paper we show that the basic external (i.e. not determined by the equations) object in Classical electrodynamics equations is a complex structure. In the 3-dimensional standard form of Maxwell equations this complex structure $\mathcal{I}$ participates implicitly in the equations and its presence is responsible for the so called duality invariance. We give a new form of the equations showing explicitly the participation of $\mathcal{I}$. In the 4-dimensional formulation the complex structure is extracted directly from the equations, it appears as a linear map $Φ$ in the space of 2-forms on $\mathbb{R}^4$. It is shown also that $Φ$ may appear through the equivariance properties of the new formulation of the theory. Further we show how this complex structure $Φ$ combines with the Poincare isomorphism $\mathfrak{P}$ between the 2-forms and 2-tensors to generate all well known and used in the theory (pseudo)metric constructions on $\mathbb{R}^4$, and to define the conformal symmetry properties. The equations of Extended Electrodynamics (EED) do not also need these pseudometrics as beforehand necessary structures. A new formulation of the EED equations in terms of a generalized Lie derivative is given.

研究の動機と目的

• 座標に依存しない電磁力学の形式化に必要な最小限の外部的数学的構造を特定すること。
• 4次元時空における複素構造 Φ の下に、マクスウェル方程式の双対性不変性が生じることを示すこと。
• 擬計量的構造（例：ミンコフスキー計量）が根本的ではなく、Φ とポアンカレ同型写像から生じる二次的対象であることを示すこと。
• 擬計量を事前に仮定しない一般化されたリー微分を用いて、拡張電磁力学（EED）を再形式化すること。
• 共形対称性が計量ではなく Φ を保存する変換の不変性として定義されることを確立すること。

提案手法

• 3次元において、電磁場を ℝ² 値1形式 ω = E ⊗ e₁ + B ⊗ e₂ として表現し、ℝ² 上の標準的複素構造 ℐ を明示的に組み込む。
• 外微分 d と Λ²(T*ℝ⁴) 上の複素構造 Φ を用いて、マクスウェル方程式を dF = 0 および dF′ = 0 として再形式化する。ここで F′ は Φ を用いて定義される。
• ℝ⁴ 上の2形式の座標基底において、Φ を行列として定義し、Φ∘Φ = −id を満たすことで、複素構造の公理的条件を満たす。
• Φ とポアンカレ同型写像 𝔓: Λ² → Λ² を組み合わせて、ℝ⁴ 上のすべての標準的擬計量的構造 hᵖ を生成する。
• p-形式に対するq-分布に沿った一般化されたリー微分を導入し、EEDの真空中の運動方程式を対称性に類似した形に再形式化する。
• すべての方程式の対称性（ローレンツ、共形、拡大）が計量ではなく Φ の対称性であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 座標に依存しない形でマクスウェル方程式を完全に形式化するために、最小限の外部的幾何的構造は何か？
• RQ2 複素構造 Φ は、マクスウェル方程式の双対性不変性をどのように説明するか？
• RQ3 ミンコフスキー計量や他の擬計量的構造は、根本的対象から導出可能であり、それ自体を仮定する必要があるのか？
• RQ4 拡張電磁力学（EED）は、擬計量を事前に仮定しない形でどのように再形式化できるか？
• RQ5 Φ は共形対称性をどのように生成するのか？また、ポアンカレ同型写像とはどのように関係するのか？

主な発見

• 4次元における古典電磁力学の形式化には、2形式の空間上に存在する複素構造 Φ のみが必要であり、擬計量は根本的構造として必要とされない。
• 複素構造 Φ が双対性対称性（E → −B, B → E）を担っており、理論の共形対称性の基盤となっている。
• ℝ⁴ 上のすべての標準的擬計量的構造 hᵖ は、Φ とポアンカレ同型写像 𝔓 の組み合わせから二次的対象として生じる。
• 共形群は、ミンコフスキー計量ではなく Φ を保存する変換の群として定義され、共形不変性の幾何的起源が再定義される。
• 拡張電磁力学（EED）は一般化されたリー微分を用いて形式化可能であり、真空中の運動方程式は対称性条件に類似した形をとる。
• エネルギー運動量保存則は、3次元形式化における複素構造 ℐ のユニモジュラー対称性に関連しており、その物理的意義が強調される。