[論文レビュー] Complex transitions between spiking, bursting and silent regimes in a new memristive Rulkov neuronal model

Miguel Moreno, Alexandre R. Nieto+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2026

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ひとこと要約

要約：本論文は有限記憶を持つσ-メモリリス的版の2次元Rulkovマップを導入し、 bursting、spiking、silentの間を一様かつカオスな遷移を生み出し、 regime の安定性の分岐駆動の変化を明らかにします。

ABSTRACT

The Rulkov model, which simulates the behavior of biological neurons, is modified by replacing one of its control parameters with a memristive, sigmoid-type function of finite memory. This modification causes the parameter to vary according to the system's history throughout the simulation. Previous works usually modify the Rulkov model by introducing additional parameters altering its behavior. Here, by contrast, we retain the original equations and allow the control parameters to vary in time, thereby preserving the model's fundamental properties. In this sense, the proposed model is locally equivalent in time to the original one. However, unlike the original model, which reproduces a single neuronal regime per simulation, the new memristive version exhibits both uniform and chaotic transitions among multiple neuronal activity regimes. Its dynamics are examined with respect to the rate at which the memristive function changes and the number of internal states it stores. Three distinct scenarios emerge around a bifurcation point. Before the bifurcation, the system undergoes uniform transitions toward a stable bursting regime. After the bifurcation, it shows uniform transitions toward a final spiking or silent regime. At the bifurcation point, highly complex transitions arise. As examples, we present trajectories in which the neuron chaotically switches between regimes without ever settling, and trajectories for which it requires around 140000 map iterations to reach a stationary regime.

研究の動機と目的

• マップベースのモデル内で余分な方程式を追加せず生理学的に関連するニューロン特徴を動機付ける。
• Rulkovマップの制御パラメータを有限記憶を持つメモリリス関数に置換する。
• 記憶長とメモリリス型の状態保存が regime（bursting, spiking, silent）間の遷移に及ぼす影響を調べる。
• regime の安定性が変化する分岐点を特定し、得られる動作を特徴付ける。

提案手法

• Rulkovの制御パラメータを有限記憶を持つメモリリス式のシグモイド関数 z に置換する（α(z) または σ(z)）。
• パラメータを所定の範囲内に制限するためにシグモイド φ(z)=1/(1+e^{-z/τ}) を用いる。
• 有限記憶 m を用いて z_n = z_0 + sum_{i=0}^{n-1}(x_i+h) for n≤m および z_n = sum_{i=n-m}^{n-1}(x_i+h) for n>m でメモリリス状態 z を定義する。
• bursting の振幅挙動を保つために σ(z)（(σ, α)平面の水平移動）に焦点を当てる。
• 平均 x̄ およびパラメータの交差点（σ(x̄) と σ0）を用いた分岐前後および分岐ダイナミクスを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 σ を有限記憶メモリリス関数に置換して、系の history に基づく単一のシミュレーション内で regime 遷移を生じさせるか？
• RQ2 記憶長 m と更新率 τ が bursting、spiking、silent の存在と安定性にどう影響するか？
• RQ3 m ≈ 2τ の近傍でどんな分岐構造が生じ、それがニューロン活動 regime への遷移をどう形作るか？

主な発見

• σ-メモリリス的Rulkovダイナミクスは3つの regime（bursting、spiking、silent）を生み出し、遷移は記憶長とメモリリス速度に制御される。
• 分岐前（m < 2τ）にはbursting への遷移は一様で安定している。
• 分岐時（m ≈ 2τ）にはメモリリス関数が元の σ–x̄ 関係に接線となり、複雑で場合によりカオス的な遷移と長い regime 持続時間を生み出す。
• 分岐後（m > 2τ）には初期条件に応じて系が spiking か silent のいずれかに一様に落ち着く。
• 分岐時にはニューロンが regime をカオスに切り替えることがあり、定常状態に達するまで非常に長い時間（最大約14万回の反復）を要することがある。
• α(z) をメモリリスとして用いても現実的な bursting は保存されず、 σ(z) を用いると意味のある記憶駆動の regime の変化が可能となる。
• 分岐後の3つの regime は (x̄, σ) 点を中心とした対称性により符号が反対になる σ の値で生じる。