[論文レビュー] Complex vector bundles and Jacobi forms

Valery Gritsenko|ArXiv.org|Jun 28, 1999

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、コンpact複素多様体上の任意の正則ベクトル束に対して、2変数の自己形式関数である修正Witten特徴を導入し、Calabi–Yau多様体を超える楕円特徴を拡張する。Weierstrass ℘-関数とEisenstein級数を用いて、複素ベクトル束とJacobi形式の間の関係を確立し、zeta正則化積とモジュラー形式を用いたJacobiシグマ関数の指数的表現を提供する。

ABSTRACT

The elliptic genus (EG) of a compact complex manifold was introduced as a holomorphic Euler characteristic of some formal power series with vector bundle coefficients. EG is an automorphic form in two variables only if the manifold is a Calabi--Yau manifold. In physics such a function appears as the partition function of N=2 superconformal field theories. In these notes we define the modified Witten genus or the automorphic correction of elliptic genus. It is an automorphic function in two variables for an arbitrary holomorphic vector bundle over a compact complex manifold. This paper is an exposition of the talks given by the author at Symposium "Automorphic forms and L-functions" at RIMS, Kyoto (January, 27, 1999) and at Arbeitstagung in Bonn (June, 20, 1999).

研究の動機と目的

• Calabi–Yau多様体でのみ自己形式的である楕円特徴を、任意の正則ベクトル束へ一般化すること。
• 非Calabi–Yau多様体に対してもモジュラー性を保つ楕円特徴の自己形式的補正を定義すること。
• theta関数とEisenstein級数を用いて、複素ベクトル束とJacobi形式の明確な関係を確立すること。
• zeta正則化積とモジュラー形式を用いて、Jacobi theta関数の指数的表現を提供すること。
• 弱Jacobi形式の半整数インデックス理論を、Chern根とモジュラー不変量を用いてベクトル束のデータを含む形に拡張すること。

提案手法

• ベクトル束上の形式的冪級数を係数とする、正則Euler特徴として修正Witten特徴を定義する。
• Jacobi theta関数の対数微分を表すために、Weierstrass ℘-関数およびその微分を用いる。
• Eisenstein級数 $ G_{2k}( au) $ を用いて、theta関数の指数展開における係数を表現する。
• zeta正則化積表現を用いて、$ \\theta(\tau,z) $, $ \\theta(\tau,z+\theta) $, および $ \\theta $ と $ \\theta' $ の級数の指数との恒等式を導出する。
• ベクトル束のChern根を用いて修正Witten特徴を表現し、重さ2・インデックス0のモジュラー形式と関連付ける。
• Weierstrass関数およびその微分と関連する、$ \\text{exp}\big(-4\tau^2 G_2(\tau) \theta^2 - \frac{\theta_z}{\theta(\tau,z)} \theta \big) $ を含む主要な恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円特徴は、Calabi–Yau多様体に限らず、任意の正則ベクトル束に対し、モジュラー自己形式関数へ拡張可能か？
• RQ2 Jacobi theta関数は、Weierstrass ℘-関数とEisenstein級数を用いてどのように表現可能か？
• RQ3 Weierstrass ℘-関数およびその微分は、Jacobi theta関数の指数的表現において果たす役割は何か？
• RQ4 ベクトル束のChern根は、修正Witten特徴のモジュラー構造とどのように相互作用するか？
• RQ5 自己形式的補正された楕円特徴の正確なモジュラー性は、重さ2・インデックス0のJacobi形式の観点からどのように記述できるか？

主な発見

• 修正Witten特徴は、任意のコンパクト複素多様体上の正則ベクトル束に対して、2変数の自己形式関数である。
• 恒等式 $ \\theta(\tau,z+\theta) = \\theta(\tau,z) \exp\left(-4\tau^2 G_2(\tau) \theta^2 - \frac{\theta_z}{\theta(\tau,z)} \theta \right) $ が成り立ち、theta関数とその微分、Eisenstein級数 $ G_2(\tau) $ を結ぶ。
• Weierstrass ℘-関数は $ \partial_z^2 \log \theta(\tau,z) = -\wp(\tau,z) + 8\pi^2 G_2(\tau) $ を満たし、微分幾何的リンクをモジュラー形式に与える。
• Jacobi形式 $ \phi_{-1,1/2} $ の指数的表現は $ \phi_{-1,1/2}(\tau,z) = \frac{\theta(\tau,z)}{\eta(\tau)^3} = (2\pi i z) \exp\left(-\sum_{k\geq 1} \frac{2(2k)! G_{2k}(\tau)}{(2\pi i z)^{2k}} \right) $ で与えられ、$ \tau \in \mathcal{H} $ および $ z \in \mathbb{C} $ に対して有効である。
• Weierstrass ℘-関数の $ n $-階微分は $ \wp^{(n-2)}(\tau,z) = (-1)^n (n-1)! z^{n+2} \sum_{k\geq 2, 2k\geq n} \frac{(2\pi i)^{2k} G_{2k}(\tau) z^{2k-n}}{(2k-n)!} $ で表され、特徴の再帰的構成を可能にする。
• 修正Witten特徴は、楕円特徴の標準的な自己形式的補正を提供し、重さ2・インデックス0の有理型Jacobi形式に変換する。この形式は $ z \in \mathbb{Z}\tau + \mathbb{Z} $ に2位の極を持つ。