[論文レビュー] Complexes d'intersection des compactifications de Baily-Borel. Le cas des groupes unitaires sur Q

Sophie Morel|ArXiv.org|Jan 11, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、重み付き複体とピンの定理を用いて、Q 上のユニタリシャムラ多様体のバイルー＝ボレルコンパクト化の交差コホモロジーにおけるフロベニウスのトレースの公式を確立する。L関数が自動形式L関数の積であることを証明し、特徴が正の整数のときのトレース公式法の新規な適応により、ランク1から任意ランクのユニタリ群へ結果を拡張する。

ABSTRACT

In this work, we calculate the trace of a power of the Frobenius endomorphism on the fibers of the intersection complex of the Baily-Borel compactification of a Shimura variety associated to a unitary group over Q. Our main tool is Pink's theorem about the restriction to the strata of the Baily-Borel compactification of the direct image of a local system on the Shimura variety. To use this theorem, we give a new construction of the intermediate extension of a pure perverse sheaf as a weight truncated of the full direct image. More generally, we are able to define analogs in positive characteristic of the weighted cohomology complexes introduced by Goresky, Harder and MacPherson. ----- Dans ce travail, nous calculons la trace d'une puissance de l'endomorphisme de Frobenius sur les fibres du complexe d'intersection de la compactification de Baily-Borel d'une variete de Shimura associee a un groupe unitaire sur Q. Notre outil principal est le theoreme de Pink sur la restriction aux strates de la compactification de Baily-Borel de l'image directe d'un systeme de coefficients sur la variete de Shimura. Pour pouvoir utiliser ce theoreme, nous donnons une nouvelle construction du prolongement intermediaire d'un faisceau pervers pur comme un tronque par le poids de l'image directe ordinaire. Plus generalement, nous definissons des analogues en caracteristique strictement positive des complexes ponderes introduits par Goresky, Harder et MacPherson.

研究の動機と目的

• Q 上のユニタリ群のランク1から任意ランクへの交差コホモロジーのL関数を計算するトレース公式法を一般化すること。
• 整数的モデルに対するトロイダルコンパクト化が存在しないことを補うために、バイルー＝ボレルコンパクト化を用い、正の特性における方法に適応すること。
• 交差複体のL関数がQ 上のユニタリ群に対して自動形式L関数の積であることを確立すること。
• フロベニウス重みを境界ストラトに導入することで、重み付き複体と perverse 切断の枠組みをバイルー＝ボレルコンパクト化の設定に拡張すること。
• 交差複体が、バール＝セルからバイルー＝ボレルへの写像の下での重み付き複体の直接像の重み切断として生じることを証明すること。

提案手法

• ゴレスキー＝ハーダー＝マクファーソンの重み付き複体の方法を、境界ストラトにおけるフロベニウス重み切断を用いて正の特性に適応する。
• ピンの定理を用いて、局所系の境界ストラトへの制限を、パラボリック部分群と二重コセットを用いて記述する。
• 公式 $j_{!*}K = w_{\leqslant a}Rj_*K$ を用いて、交差複体を重み切断された直接像の重み付き複体として特定する。
• バイルー＝ボレルコンパクト化における重み付き複体のトレース公式を適用し、ストラトにおけるトロイダル重みの代わりにフロベニウス重みを用いる。
• 標準的パラボリック部分群 $S \subset \{1,\dots,q\}$ における和を用いたトレース公式を導出する。各項は、重み条件を満たすリー代数コホモロジーにおけるトレースを含む。
• 恒等式 $\mathrm{Tr}(\gamma_0, R\Gamma(\mathfrak{Lie}(\mathbf{N}_S), V)_{\geqslant t_s, s\in S}) = \sum_{J\subset S} (-1)^{\mathrm{card}(J)} \mathrm{Tr}(\gamma_0, R\Gamma(\mathfrak{Lie}(\mathbf{N}_S), V)_{<t_j, j\in J})$ を用いて、ストラトにおけるトレースを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トロイダルコンパクト化が存在しない状況において、Q 上のユニタリシャムラ多様体のバイルー＝ボレルコンパクト化における交差コホモロジーのフロベニウストレースをどのように計算できるか。
• RQ2 Q 上のユニタリシャムラ多様体のバイルー＝ボレルコンパクト化における交差複体の構造は何か。
• RQ3 交差複体のL関数は、高ランクユニタリ群に対して自動形式L関数の積として表現可能か。
• RQ4 バール＝セルコンパクト化における重み付き複体は、バイルー＝ボレルコンパクト化の交差コホモロジーとどのように関係するか。
• RQ5 正の特性において、パラボリック重み切断の役割を果たすフロベニウス重み切断の役割は何か。

主な発見

• バイルー＝ボレルコンパクト化における交差複体は、重み付き複体の直接像の重み切断 $w_{\leqslant a}Rj_*K$ と同型である。
• 交差コホモロジーにおけるフロベニウストレースは、標準的パラボリック部分群 $S \subset \{1,\dots,q\}$ における和を用いて計算され、重み条件を満たすリー代数コホモロジーにおけるトレースを含む。
• トレースの公式には、境界ストラティフィケーションの組合せ論を反映する $J \subset S$ における和と交互に符号がつく項が含まれる。
• 交差複体のL関数が自動形式L関数の積であることが示され、ランク1から任意ランクのユニタリ群への結果の一般化が達成された。
• 整数的モデルに対するトロイダルコンパクト化が存在しないため、この方法は有限個の素数を除きすべての素数で有効である。
• 主な技術的ツールは、バール＝セルからバイルー＝ボレルへの自然な準同型の下で、交差複体が重み付き複体の重み切断として生じることの同定である。