[論文レビュー] Complexity in linearly coupled dynamical networks: Some unusual phenomena in energy accumulation

Zhisheng Duan, Jinzhi Wang+2 more|ArXiv.org|Jun 20, 2007

Neural Networks Stability and Synchronization参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、線形結合された動的ネットワークにおける$H_2$ノルムのエネルギー蓄積を調査し、特定の外部結合構造下では$H_2$ノルムがネットワークサイズ$N$とともに指数関数的に増大し、大規模な$N$に対して$2^N$を上回ることを明らかにした。一方、拡散的結合ネットワークでは線形増大（$\gamma_2 N$）にとどまる。線形性にもかかわらず、エネルギー動的は極めて複雑かつ直感に反するものであり、複雑ネットワークにおける同期化と制御に影響を及ぼす。

ABSTRACT

This paper addresses the energy accumulation problem, in terms of the $H_2$ norm, of linearly coupled dynamical networks. An interesting outer-coupling relationship is constructed, under which the $H_2$ norm of the newly constructed network with column-input and row-output shaped matrices increases exponentially fast with the node number $N$: it increases generally much faster than $2^N$ when $N$ is large while the $H_2$ norm of each node is 1. However, the $H_2$ norm of the network with a diffusive coupling is equal to $γ_2 N$, i.e., increasing linearly, when the network is stable, where $γ_2$ is the $H_2$ norm of a single node. And the $H_2$ norm of the network with antisymmetrical coupling also increases, but rather slowly, with the node number $N$. Other networks with block-diagonal-input and block-diagonal-output matrices behave similarly. It demonstrates that the changes of $H_2$ norms in different networks are very complicated, despite the fact that the networks are linear. Finally, the influence of the $H_2$ norm of the locally linearized network on the output of a network with Lur'e nodes is discussed.

研究の動機と目的

• 線形結合動的ネットワークにおける$H_2$ノルム（システムエネルギー出力の指標）がネットワークサイズ$N$とともにどのようにスケーリングするかを分析すること。
• 異なる外部結合構造（例：列入力／行出力、拡散的、反対称的）が$H_2$ノルムの増大に与える影響を調査すること。
• 非線形Lur’e型ネットワークの局所線形化されたネットワークにおける$H_2$ノルムの挙動が、出力に与える影響を理解すること。
• 線形ネットワーク構造が予想外に複雑なエネルギー蓄積ダイナミクスを示す可能性があることを示し、直感的な期待に反する事実を明らかにすること。

提案手法

• Kronecker積の形式を用いて、列入力・行出力型行列を有するネットワークを構築：$\dot{x} = (I_N \otimes A_1 + \Gamma \otimes A_{12})x + Bw_1$、$y = Cx$。
• $H_2$ノルムの公式$\|G(s)\|_2 = \sqrt{\text{trace}(B^T Q B)}$を用い、$Q$はリャプノフ方程式$Q A + A^T Q + C^T C = 0$を満たす。
• 3種類の結合タイプにおける$H_2$ノルムの分析：(1) 新たな列入力／行出力結合$\Gamma$；(2) 拡散的結合$\Gamma_D$；(3) 反対称的結合。
• LQR制御フレームワークを用いてインパulse駆動初期条件をモデル化し、$H_2$ノルムと局所線形化Lur’eネットワークの出力エネルギーを関連付ける。
• 数値例と理論的解析を用いて、ネットワークタイプごとの$H_2$ノルムスケーリングを比較する。
• 平衡点近傍での線形化を通じて、線形化ネットワークのエネルギーが非線形Lur’eネットワークの制御出力に与える影響を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新規の外部結合構造下で、線形結合ネットワークの$H_2$ノルムはノード数$N$とともにどのようにスケーリングするか？
• RQ2 拡散的結合ネットワークの$H_2$ノルムは$N$とともにどのようにスケーリングするか。また、単一ノードのノルムと比較するとどうなるか？
• RQ3 反対称的結合ネットワークにおける$H_2$ノルムのスケーリング特性は何か。他の結合タイプとどのように異なるか？
• RQ4 局所線形化ネットワークのエネルギーは、非線形Lur’eネットワークの出力行動にどの程度影響を及えるか？
• RQ5 線形ネットワークにおける$H_2$ノルムの指数的増大は、非線形対応物における同期性能の劣化を引き起こすか？

主な発見

• 列入力・行出力行列を有する新規に構築されたネットワークの$H_2$ノルムは$N$とともに指数関数的に増大し、大規模な$N$に対して$2^N$を上回る速度で増大する。
• 拡散的結合ネットワークでは、$H_2$ノルムは$N$に比例して増大し、具体的には$\gamma_2 N$となる。ここで$\gamma_2$は単一ノードの$H_2$ノルムである。
• 反対称的結合ネットワークでは、$H_2$ノルムは$N$とともにゆっくりと増大し、新規結合ケースと比較して著しく穏やかなエネルギー蓄積を示す。
• 入力・出力行列がブロック対角型であるネットワークは、反対称的ケースと同様に$H_2$ノルムの挙動を示し、ゆっくりとした増大を示す。
• 局所線形化Lur’eネットワークの$H_2$ノルムは、非線形ネットワークの出力エネルギーと誤差に直接影響を与え、ノルムが大きいほど出力誤差が大きく、同期性能が悪化する。
• 線形化ネットワークにおける$H_2$ノルムの指数的増大は、非線形ネットワークにおける悪い同期性能と相関しており、制御設計において大きなエネルギー変動を避けるべきであることを示唆している。