[論文レビュー] Complexity Issues in Finding Succinct Solutions of PSPACE-Complete Problems

Paolo Liberatore|ArXiv.org|Mar 18, 2005

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、QBF や計画、LTL モデルチェックといった PSPACE完全問題の解に対する要約表現の複雑さを調査する。サイズ制限付きの要約モデル（例：回路によって表現されるもの）の存在を決定することは、一進法符号化では PSPACE完全であり、二進法符号化では EXPTIME 困難であることが示され、問題が P に属さないならば P ≠ PSPACE が成り立つことを示唆している。

ABSTRACT

We study the problem of deciding whether some PSPACE-complete problems have models of bounded size. Contrary to problems in NP, models of PSPACE-complete problems may be exponentially large. However, such models may take polynomial space in a succinct representation. For example, the models of a QBF are explicitely represented by and-or trees (which are always of exponential size) but can be succinctely represented by circuits (which can be polynomial or exponential). We investigate the complexity of deciding the existence of such succinct models when a bound on size is given.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、PSPACE完全問題の解が、コンパクトなデータ構造によって要約表現可能かどうかを特定することである。
• 解のサイズが制限された要約形式（例：回路）に存在するかどうかを検証する計算コストを調査することである。
• 本研究は、量化されたブール論理式（QBF）、STRIPS における計画、線形時相論理（LTL）モデルチェックという3つの主要分野に焦点を当てる。
• 明示的表現と要約表現の選択が、解の存在の複雑さに与える影響を検討する。
• 異なるサイズ符号化（一進法対二進法）の下で、PSPACE完全問題における要約解の探索の tractable と intractable の境界を明確にすることである。

提案手法

• 本稿は、指数関数的に大きな木構造や列をコンパクトに符号化する回路を用いて、要約表現を形式化する。
• モデルの2つの表現を導入する：1つは時刻／状態遷移に基づくもの、もう1つは次状態遷移に基づくものである。
• 各問題分野（QBF、計画、LTL）に対して、有効な要約モデルの定義を示し、PSPACE に属することを証明する。
• 既知の PSPACE 完全問題（例：QBF の妥当性）からの還元を用いて、要約モデル存在問題の困難性を示す。
• 非決定的 PSPACE アルゴリズムを決定的ものに変換するため、Savitch の定理を適用してモデル生成に用いる。
• もしサイズが二進法で与えられる要約モデル存在問題が P に属するならば、P = PSPACE が成り立つことを証明し、強力な計算複雑性理論的帰結を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイズが k で制限された要約モデル（一進法で表記）が存在するかどうかを決定する問題は、PSPACE に属するか？
• RQ2 サイズ制限 k が二進法で与えられた場合、要約モデルの存在を決定する問題の複雑さは何か？
• RQ3 LTL 公式の要約モデルの存在は、既知の PSPACE 完全問題に還元可能か？
• RQ4 P ≠ PSPACE を仮定した場合、要約モデルの存在は多項式階層の崩壊を意味するか？
• RQ5 明示的表現と回路ベース表現の違いは、PSPACE 完全問題における解の存在の複雑さにどのように影響するか？

主な発見

• 一進法で表記されたサイズ k で制限された要約モデル（例：回路で表現されるもの）の存在を決定する問題は PSPACE 完全である。
• サイズ制限 k が二進法で与えられる場合、問題は EXPTIME 困難となる。これは、P に属するとは考えにくいことを示唆している。
• もしサイズが二進法で与えられる要約モデル存在問題が P に属するならば、P = PSPACE が成り立つ。これは強力な計算複雑性理論的帰結を確立する。
• 充足可能な LTL 公式のモデルは多項式空間で生成可能であり、そのようなモデルは多項式サイズの回路で表現可能である。
• QBF の辞書的モデルはサイズ 4n の回路で表現可能であり、これにより LTL モデル存在問題への還元が可能になる。
• 本稿は、サイズ制限付きの要約モデルの存在が一進法符号化では PSPACE 完全であり、この問題が P に属するとは限らない（P = PSPACE でない限り）ことを確立した。