[論文レビュー] Complexity of Bondage and Reinforcement

Fu-Tao Hu, Jun‐Ming Xu|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、3-充足可能性問題を各問題に多項式時間還元することで、3つの基本的グラフ支配問題—包囲、全包囲、強化—のNP困難性を確立している。一般のグラフにおいて、支配数を増加させる辺の最小数（包囲）、全支配数を増加させる辺の最小数（全包囲）、または支配数を減少させるために追加する必要のある辺の最小数（強化）を特定することは、計算的に困難であることが示されている。

ABSTRACT

Let $G=(V,E)$ be a graph. A subset $D\subseteq V$ is a dominating set if every vertex not in $D$ is adjacent to a vertex in $D$. A dominating set $D$ is called a total dominating set if every vertex in $D$ is adjacent to a vertex in $D$. The domination (resp. total domination) number of $G$ is the smallest cardinality of a dominating (resp. total dominating) set of $G$. The bondage (resp. total bondage) number of a nonempty graph $G$ is the smallest number of edges whose removal from $G$ results in a graph with larger domination (resp. total domination) number of $G$. The reinforcement number of $G$ is the smallest number of edges whose addition to $G$ results in a graph with smaller domination number. This paper shows that the decision problems for bondage, total bondage and reinforcement are all NP-hard.

研究の動機と目的

• 一般のグラフにおける包囲数意思決定問題の計算複雑性を特定すること。
• 全包囲数意思決定問題の複雑性を調査し、全支配への結果の拡張を行うこと。
• 強化数問題を分析し、その計算困難性を確立すること。
• 共通の還元フレームワークを用いて、3つの主要な支配関連グラフパラメータの複雑性分析を統一すること。
• 包囲、全包囲、強化の3問題がすべてNP困難であることを示し、それらのアルゴリズム的 tractability に関する未解決問題を解決すること。

提案手法

• NP完全な3-充足可能性問題を、多項式時間内にグラフ構築によって包囲意思決定問題に還元する。
• 変数、節、補助頂点を用いて、論理的制約を符号化するグラフ $G$ を構築する。
• 閉近傍 $N[s]$ と支配集合を用いて、グラフ内の変数および節の充足状態をモデル化する。
• 変数が $n$ 個あるグラフに対して $\gamma(G) = n+1$ が成り立つことを証明し、支配数の基準を確立する。
• 3-SATインスタンスが充足可能である場合かつその場合に限り、ある辺 $e$ に対して $\gamma(G+e) = n$ が成り立つことを示す。
• 同様の還元技術を全包囲および強化問題に適用し、論理的充足可能性とグラフパラメータの変化の間の同値性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のグラフにおいて、包囲数意思決定問題はNP困難か？
• RQ2 一般のグラフにおいて、全包囲数意思決定問題はNP困難か？
• RQ3 一般のグラフにおいて、強化数意思決定問題はNP困難か？
• RQ4 3-充足可能性問題を包囲、全包囲、強化問題に多項式時間還元できるか？
• RQ5 強化問題の解の存在は、元の3-SATインスタンスの充足可能性と正確に一致するか？

主な発見

• 包囲数意思決定問題は、3-SATへの多項式還元によりNP困難であることが示された。
• 全包囲数意思決定問題についてもNP困難であることが証明され、全支配への拡張がなされた。
• 強化数意思決定問題はNP困難であることが示され、支配数を減少させるために辺を追加する問題の不適切性が立証された。
• 3-SATインスタンスから構築されたグラフ $G$ に対して、変数の数を $n$ とすると $\gamma(G) = n+1$ が成り立つ。
• 3-SATインスタンスが充足可能である場合かつその場合に限り、強化数 $r(G) = 1$ が成り立つ。これは還元によって同値性が証明された。
• 包囲、全包囲、強化の3問題とも、一般のグラフにおいて計算的に困難（NP困難）であることが判明した。