[論文レビュー] Complexity of Bose-Hubbard Model : Quantum Phase Transition

Wung-Hong Huang|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2021

Quantum Information and Cryptography被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ボーズ＝ハバード模型における量子複雑性を計算するために、作用素に基づく摂動法を適用し、複雑性が臨界相互作用強度 $ g_c = 1 $ で発散することを示しており、これは量子相転移を示唆している。この手法は、以前 $ \lambda\phi^4 $ 理論に用いられた方法を一般化したものであり、2サイト系、Nサイト系、および高次元系における基底状態および励起状態の正確な級数展開をもたらす。

ABSTRACT

The operator approach is applied to investigate the complexity of Bose-Hubbard model. We present a systematic method to expand the quantum complexity in series of coupling constant. We first study 2-sites system. For the ground state we can find the exact value of complexity which is the summation of all order. The complexity is divergent at critical value of coupling constant that indicates the quantum phase transition at this point. We then generalize the method to the N-sites closed chain and any dimensional system. The found properties are similar to those in 2-sites system. We also study the excited state and present the general formulas of Bose-Hubbard model complexity, which shows a similar form as that in $λϕ^4$ theory studied in our previous paper.

研究の動機と目的

• 超冷却ボソンが光学格子に閉じ込められたモデルとしてのボーズ＝ハバード模型に、量子複雑性の作用素的アプローチを拡張すること。
• 強い相関を持つ多体系において、量子複雑性が量子相転移を示す可能性があるかを調査すること。
• $ \lambda\phi^4 $ 理論からボーズ＝ハバード模型への摂動的複雑性計算手法を一般化し、正確な級数解を得ること。
• 1次元鎖および高次元格子における基底状態と励起状態を分析し、臨界的挙動を同定すること。
• 臨界点 $ g_c = 1 $ が系のサイズや次元にわたって普遍的であるかを検討すること。

提案手法

• 2次量子化形式を用いて、フーリエ変換を介してモード演算子でボーズ＝ハバードハミルトニアンを表現する。
• 結合定数 $ g $ における摂動展開を適用し、有効振動数 $ R^{(n)}_k $ の再帰関係を用いて、複雑性を段階的に計算する。
• 複雑性をFubini-Study計量における測地的距離の二乗として定義し、$ D^{(n)2}_{\{N_k\}} = \sum_k (N_k + 1) \left( \ln \sqrt{R^{(n)}_k} \right)^2 $ で計算する。
• 量子回路を時間順序指数的時間発展演算子でモデル化し、コスト関数 $ D[U] = \int_0^1 ds \sum_I |Y^I(s)|^2 $ を最小化する。
• 複数の運動量モードへのフーリエ変換の拡張により、Nサイト閉鎖鎖およびN次元格子への手法の一般化を図る。
• 特に $ k=0 $ における $ R^{(n\to\infty)}_k $ の発散を用いて臨界点を特定し、$ R \to 0 $ のとき相転移を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素的手法による量子複雑性の計算が、ボーズ＝ハバード模型における量子相転移を検出できるか？
• RQ2 ボーズ＝ハバード模型において、相転移の臨界結合定数 $ g_c $ が系のサイズに依存しないか？
• RQ3 励起状態の複雑性は、基底状態の発散および臨界的挙動と比べてどのように異なるか？
• RQ4 ボーズ＝ハバード模型の複雑性式は、$ \lambda\phi^4 $ 理論のそれと構造的に類似しているか？
• RQ5 Nサイト系において $ g_k < 1 $ で生じる物理的に不適切な発散は、どのような役割を果たし、無効化できるか？

主な発見

• 2サイトのボーズ＝ハバード模型において、複雑性は $ g_c = 1 $ で発散し、これは量子相転移を示しており、級数の正確な和算によって確認された。
• Nサイト閉鎖鎖においても、複雑性は $ g_c = 1 $ で発散し、臨界点は系のサイズに依存しない。
• $ R^{(n)}_k $ の再帰関係により、基底状態における複雑性の正確な式が得られ、無限次の収束が可能である。
• 高次元系では、複雑性式は $ \left(D^{(n)}_{\{N_i\}}\right)^2 = \sum_{\vec{k}} (N_{\vec{k}} + 1) \left( \ln \sqrt{R^{(n)}_{\vec{k}}} \right)^2 $ に一般化され、$ \lambda\phi^4 $ 理論と同一の構造を保つ。
• N > 2 の場合、$ R^{(n)}_k $ の分母のゼロに起因し、$ g_k < 1 $ で物理的に不適切な発散が生じるが、これらは実際の相転移とは関係がない。
• この手法により、$ g_c = 1 $ が系のサイズにわたって普遍的であるため、平均場的挙動が明らかとなり、相転移の簡略化された有効記述が得られる。