[論文レビュー] Complexity of comparing monomials and two improvements of the BM-algorithm

Samuel Lundqvist|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2008

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、単項式の指数ベクトルの辞書式順序でソートされたリストをマージするための新しいアルゴリズムを導入し、BMアルゴリズムにおける単項式比較の時間計算量を顕著に改善する。このマージアルゴリズムを射影技術と組み合わせることで、単項式操作の計算量を $ O(\text{min}(m,n)m^2 \log m) $ にまで低減し、算術演算が新たなボトル neck となる。また、さまざまな単項式順序において、BMアルゴリズムおよびFGLMアルゴリズムに適用可能な tighter な計算量上限を提供する。

ABSTRACT

We give a new algorithm for merging sorted lists of monomials. Together with a projection technique we obtain a new complexity bound for the BM-algorithm.

研究の動機と目的

• 標準的な単項式順序（lex, deglex, degrevlex）における単項式比較の計算量を、整数ベクトルの辞書式比較を用いて分析・改善すること。
• 単項式を表す $ n $-タプルの辞書式順序でソートされたリストをマージするより高速なアルゴリズムを開発し、多項式演算における比較オーバーヘッドを低減すること。
• 射影技術を用いて、BMアルゴリズムにおける単項式操作の時間計算量を $ O(n^2m^2) $ から $ O(\text{min}(m,n)m^2 \log m) $ に低減すること。
• 改善された計算量上限を、FGLMアルゴリズムや関数型の定義に基づく他のアルゴリズムに拡張し、従来の有限体に依存する仮定を一般化すること。
• 整数演算の対数的コストを考慮したより現実的な計算量モデルを確立し、定数時間仮定から脱却すること。

提案手法

• 整数ベクトルの辞書式順序でソートされた $ n $-タプルのリストをマージする新しいアルゴリズムを提案し、集合 $ \Sigma $ 内で最大 $ \min(s,t) + n $ 回の比較を実行し、さらに $ O(\max(s,t)\log n) $ 時間を要する。
• 整数加算および比較のコストが $ O(\log(\max(a,b))) $ である計算モデルを採用し、現実の算術コストを反映する。
• 補題 3.4 に基づく射影技術を導入し、問題を次元の低い空間に変換することで、単項式操作の計算量を低減する。
• マージアルゴリズムと射影技術をBMアルゴリズムに適用し、単項式比較の計算量が $ O(\text{min}(m,n)m^2 \log m) $ で抑えられることを示す。
• 同様の技術を用いて、FGLMアルゴリズムおよび関数に基づくイデアル計算の計算量上限を改善し、同じ計算量モデルを用いる。
• 標準的な順序における単項式比較が、整数指数ベクトルの辞書式比較に帰着されることを活用し、効率的なアルゴリズム的取り扱いを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数算術のコストを現実的にモデル化した場合、標準的な単項式順序における単項式比較の真の時間計算量は何か？
• RQ2 辞書式順序でソートされた指数ベクトルのためのより高速なマージアルゴリズムは、BMアルゴリズム全体の計算量を低減できるか？
• RQ3 射影技術は有限体を仮定せずに、BMアルゴリズムにおける単項式操作の計算量をどのように低減するか？
• RQ4 改善された計算量上限は、FGLMアルゴリズムや他の関数に基づくイデアル計算手法に拡張可能か？
• RQ5 単項式比較を最適化した後、BMアルゴリズムにおける新たなボトル neck は何か？また、従来の計算量モデルと比べてどう異なるか？

主な発見

• 次数 $ \leq m $ の $ n $ 変数単項式における単項式比較の計算量は、$ O(n \max(\log(m/n), 1)) $ で抑えられ、従来の $ O(n) $ の仮定を改善する。
• サイズ $ s $ および $ t $ の $ n $-タプルのリストをマージする新しいアルゴリズムは、集合 $ \Sigma $ 内で最大 $ \min(s,t) + n $ 回の比較を実行し、さらに $ O(\max(s,t)\log n) $ 時間を要する。これは、単純な $ O(\max(s,t)n) $ アプローチを上回る性能を示す。
• BMアルゴリズムにおける単項式操作部分の計算量は、標準的な単項式順序下で $ O(\text{min}(m,n)m^2 \log m) $ に低減される。
• BMアルゴリズムの算術計算量は $ O(nm^2 + \text{min}(m,n)m^3) $ に改善され、単項式操作が主なコスト要因となるのは $ m \ll n $ の場合に限る。
• 改善された計算量上限は、FGLMアルゴリズムおよび関数に基づくイデアル計算に拡張され、算術演算は $ O(\min(m,n)m^3 + nm^2 + fnm + f\text{min}(m,n)m^2) $ 回、単項式操作の時間計算量は $ O(\text{min}(m,n)m^2 \log m) $ で抑えられる。
• 射影技術により、有限体に限定されない一般化が可能となり、$ \mathbb{Q} $ や他の体に対しても適用可能である。これは、従来の $ \mathbb{Z}_p $ を仮定する研究とは対照的である。