[論文レビュー] Complexity of complexity and maximal plain versus prefix-free Kolmogorov complexity

Bruno Bauwens|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2012

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ひとこと要約

この論文は、高条件複雑性を持つ文字列の存在をゲーム理論的証明により示し、平易およびプレフィックスフリーなコルモゴロフ複雑性の両方において、log n − O(1) のタイトな上限を確立している。平易とプレフィックスフリー複雑性の間の分離に関するソロヴァイの結果の簡潔な証明を提供し、それを一般化して、無限に多くの n に対して、平易複雑性の欠落が有界であるがプレフィックスフリー複雑性の欠落が大きく、理論的上限に近い文字列が存在することを示している。

ABSTRACT

Peter Gacs showed [2] that for every n there exists a bit string x of length n whose plain complexity C(x) has almost maximal conditional complexity relative to x, i.e., C(C(x)|x)≥logn−log(2)n−O(1). Here log2(i)=loglogi etc. Following Elena Kalinina [4], we provide a game-theoretic proof of this result; modifying her argument, we get a better (and tight) bound logn−O(1). We also show the same bound for prefix-free complexity. Robert Solovay's showed [11] that infinitely many strings x have maximal plain complexity but not maximal prefix-free complexity (among the strings of the same length); i.e. for some c: |x|−C(x)≤c and |x|+K(|x|)−K(x)≥log(2) |x|−clog(3) |x|. Using the result above, we provide a short proof of Solovay's result. We also generalize it by showing that for some c and for all n there are strings x of length n with n−C(x)≤c, and n+K(n)−K(x)≥K(K(n)|n)−3K( K(K(n)|n) |n)−c . This is very close to the upperbound K(K(n)|n)+O(1) proved by Solovay.

研究の動機と目的

• 長さ n の文字列に対して、高条件平易複雑性 C(C(x)|x) を示すゲーム理論的証明を提供すること。
• log n 項における条件複雑性の境界を O(log log n) から O(1) に改善・タイト化すること。
• 同じ境界がプレフィックスフリー複雑性に対しても成り立つことを示す。
• ソロヴァイの結果（平易とプレフィックスフリー複雑性の分離に関する）の短く洗練された証明を提示すること。
• 平易とプレフィックスフリー複雑性の欠落の間の最大可能な差を定量化することにより、ソロヴァイの結果を一般化すること。

提案手法

• 高条件複雑性を持つ文字列の構成を分析するために、ビルダーと検証者の間の相互作用をモデル化するゲーム理論的枠組みが用いられる。
• エレナ・カリンナのアプローチをもとにしたが、O(log log n) ではなく O(1) の誤差項を達成するために精錬されている。
• コルモゴロフ複雑性と条件付き複雑性の構造を活用して、x が与えられたときの C(x) の情報含量を制限する。
• プレフィックスフリー複雑性への応用では、プレフィックスフリー符号と自己区切りプログラムを用いる。
• K(K(n)|n) がプレフィックスフリー複雑性における最大欠落を制御することを応用する。
• ソロヴァイの既知の上限と組み合わせることで、平易とプレフィックスフリー複雑性の欠落の間のほぼ最適な差が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さ n の文字列に対して、条件付き平易複雑性 C(C(x)|x) のタイトな境界は何か？
• RQ2 ゲーム理論的アプローチを用いて、既存の条件複雑性の境界を改善できるか？
• RQ3 同じ長さの文字列に対して、平易とプレフィックスフリー・コルモゴロフ複雑性の間の差はどれほど大きくなるか？
• RQ4 ソロヴァイの結果（平易とプレフィックスフリー複雑性の分離に関する）を、より単純で構造的な証明で再現できるか？
• RQ5 平易複雑性の欠落が有界であるような長さ n の文字列 x に対して、n + K(n) − K(x) の最大値は何か？

主な発見

• この論文は、長さ n のある文字列 x に対して、条件付き平易複雑性 C(C(x)|x) に対して log n − O(1) のタイトな境界を確立している。
• 同じ境界がプレフィックスフリー複雑性に対しても成り立ち、ある長さ n の文字列 x に対して K(K(x)|x) ≥ log n − O(1) が成り立つ。
• ソロヴァイの結果の簡潔な証明が与えられ、無限に多くの文字列 x に対して |x| − C(x) ≤ c だが |x| + K(|x|) − K(x) ≥ log(2)|x| − c log(3)|x| であることが示されている。
• 論文はソロヴァイの結果を一般化し、すべての n に対して、n − C(x) ≤ c かつ n + K(n) − K(x) ≥ K(K(n)|n) − 3K(K(K(n)|n)|n) − c を満たす長さ n の文字列 x が存在することを示している。
• この一般化された境界は、ソロヴァイの既知の上限 K(K(n)|n) + O(1) に非常に近く、近似的に最適であることが示されている。
• 結果は、平易とプレフィックスフリー複雑性の差が定量的に制限可能であり、小さな加法的項を除いて最大であることを示している。