[論文レビュー] Complexity of counting subgraphs: only the boundedness of the vertex-cover number counts

Radu Curticapean, Dániel Marx|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 42被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、部分グラフの数え上げの tractability を決定づける唯一の構造的性質が、頂点被覆数の有界性であることを確立している。クラス 𝒮 が有界な頂点被覆数を持つならば、任意の H ∈ 𝒮 に同型な部分グラフの数え上げは多項式時間で解けるが、そうでない場合は #W[1]-hard である。この結果は、パラメータ計算複雑性を用いてタイトな特徴付けを提供し、指数時間仮説（Exponential Time Hypothesis）のもとで、二部グラフにおける k-マッチングの数え上げの困難さを強化する。

ABSTRACT

For a class $\mathcal{H}$ of graphs, #Sub$(\mathcal{H})$ is the counting problem that, given a graph $H\in \mathcal{H}$ and an arbitrary graph $G$, asks for the number of subgraphs of $G$ isomorphic to $H$. It is known that if $\mathcal{H}$ has bounded vertex-cover number (equivalently, the size of the maximum matching in $\mathcal{H}$ is bounded), then #Sub$(\mathcal{H})$ is polynomial-time solvable. We complement this result with a corresponding lower bound: if $\mathcal{H}$ is any recursively enumerable class of graphs with unbounded vertex-cover number, then #Sub$(\mathcal{H})$ is #W[1]-hard parameterized by the size of $H$ and hence not polynomial-time solvable and not even fixed-parameter tractable, unless FPT = #W[1]. As a first step of the proof, we show that counting $k$-matchings in bipartite graphs is #W[1]-hard. Recently, Curticapean [ICALP 2013] proved the #W[1]-hardness of counting $k$-matchings in general graphs; our result strengthens this statement to bipartite graphs with a considerably simpler proof and even shows that, assuming the Exponential Time Hypothesis (ETH), there is no $f(k)n^{o(k/\log k)}$ time algorithm for counting $k$-matchings in bipartite graphs for any computable function $f(k)$. As a consequence, we obtain an independent and somewhat simpler proof of the classical result of Flum and Grohe [SICOMP 2004] stating that counting paths of length $k$ is #W[1]-hard, as well as a similar almost-tight ETH-based lower bound on the exponent.

研究の動機と目的

• クラス 𝒮 が部分グラフ数え上げ問題 #Sub(𝒮) を tractable にする条件を同定すること。
• 有界な頂点被覆数が、#Sub(𝒮) に対して多項式時間解法を保証する唯一の構造的性質であるかどうかを特定すること。
• 頂点被覆数に基づいて、#Sub(𝒮) のタイトな複雑性二分法を確立すること。
• 二部グラフにおける k-マッチングの数え上げの困難さを強化し、ETH に基づく下界を導出すること。

提案手法

• 頂点被覆数が無限大であるクラスに対して、#W[1]-hard であることを示すために、二部グラフにおける k-マッチングの数え上げ問題への還元を用いる。
• 細分化された星型グラフと境界を保つ同型写像を用いて、部分グラフ内に強い集合を構築する。
• Lemma 8.6 と Lemma 8.3 を適用して、変更された部分グラフ内に k-マッチングガジェットの存在を証明する。
• 頂点集合の多重集合 Xₑ からマッチング M₁ を構築し、頂点被覆を制御し、最小限の重複を保証する。
• 指数時間仮説（ETH）を用いて、二部グラフにおける k-マッチングの数え上げに対して、f(k)n^{o(k/log k)} 時間のアルゴリズムは、任意の計算可能関数 f(k) に対して存在しないことを導出する。
• 細分化された星型グラフと頂点被覆を用いた背理法により、グラフ H に構造的制約を強制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界な頂点被覆数が、#Sub(𝒮) に対して多項式時間解法を保証する唯一のグラフ的性質であるか？
• RQ2 𝒮 が無限大の頂点被覆数を持つ場合、#Sub(𝒮) は固定パラメータ可 tractable にできるか？
• RQ3 二部グラフにおける k-マッチングの数え上げの正確なパラメータ計算複雑性は何か？
• RQ4 指数時間仮説（ETH）は、二部グラフにおける k-マッチングの数え上げの実行時間に非自明な下界を示唆するか？
• RQ5 k-マッチングからの簡素な還元により、長さ k のパスの数え上げの困難さを再導出できるか？

主な発見

• #Sub(𝒮) は、クラス 𝒮 が有界な頂点被覆数を持つときかつそのときに限り、多項式時間で解ける。
• 𝒮 が無限大の頂点被覆数を持つ場合、FPT ≠ #W[1] を仮定すれば、|V(H)| をパラメータとする #Sub(𝒮) は #W[1]-hard である。
• 二部グラフにおける k-マッチングの数え上げは #W[1]-hard であり、ETH のもとでは、任意の計算可能関数 f(k) に対して、f(k)n^{o(k/log k)} 時間のアルゴリズムは存在しない。
• 長さ k のパスの数え上げが #W[1]-hard であるという古典的結果が、k-マッチングからの簡素な還元により再確認された。
• 二部グラフにおける k-マッチングの数え上げの困難さは、ガジェット構築により、より複雑な部分グラフの数え上げの困難さを示唆する。
• Q が強い集合であるとき、H∖Q 内に k-マッチングガジェットが存在することは、構造的不変性により元の問題の困難さを裏付ける。