[論文レビュー] Complexity of full counting statistics of free quantum particles in entangled states.

Д. А. Иванов, Leonid Gurvits|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2019

Quantum Mechanics and Applications被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、エンタングル状態における自由量子粒子の完全統計的カウントの計算複雑性を調査し、多粒子積状態における単粒子演算子の期待値に焦点を当てる。一部の期待値が行列パーマネントの計算と同程度に計算が困難（計算的に困難）である一方で、最終状態の単粒子状態が有限個に制限される場合、完全統計的カウントの生成関数は効率的に計算可能になることが示されている。これは一般のフェルミオン積状態および単一ボソン状態において証明されており、量子計算リソース理論に影響を与える。

ABSTRACT

We study the computational complexity of quantum-mechanical expectation values of single-particle operators in bosonic and fermionic multi-particle product states. Such expectation values appear, in particular, in full-counting-statistics problems. Depending on the initial multi-particle product state, the expectation values may be either easy to compute (the required number of operations scales polynomially with the particle number) or hard to compute (at least as hard as a permanent of a matrix). However, if we only consider full counting statistics in a finite number of final single-particle states, then the full-counting-statistics generating function becomes easy to compute in all the analyzed cases. We prove the latter statement for the general case of the fermionic product state and for the single-boson product state (the same as used in the boson-sampling proposal). This result may be relevant for using multi-particle product states as a resource for quantum computing.

研究の動機と目的

• 多粒子積状態における単粒子演算子の量子力学的期待値の計算複雑性を分析すること。
• 自由フェルミオンおよび自由ボソン系において、エンタングルメントが存在する状況下でも完全統計的カウント問題が tractable（扱いやすい）であるかどうかを特定すること。
• 個々の期待値に内在する複雑性にもかかわらず、完全統計的カウントの生成関数が効率的に計算可能になる条件を同定すること。
• これらの発見が、多粒子積状態を量子計算リソースとして使用する上でどのような意味を持つのかを評価すること。

提案手法

• 第二量子化形式を用いて、ボソンおよびフェルミオンの多粒子積状態における単粒子演算子の期待値を分析する。
• 行列パーマネントを複雑性のベンチマークとして用い、期待値の計算の難易度をパーマネントの計算と比較する。
• 完全統計的カウントの生成関数に対しては、最終状態空間を有限個の単粒子状態に制限して、計算可能性を評価する。
• 本論文では、この有限状態制限のもとで、生成関数が一般のフェルミオン積状態および単一ボソン積状態の両方において、効率的に計算可能になることを証明している。
• 証明技法は、フェルミオンのスレイター行列式の組み合わせ的恒等式およびボソンのパーマネントの性質に依存している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 個々の期待値が困難であるにもかかわらず、どのような条件下で完全統計的カウントの生成関数が効率的に計算可能になるのか。
• RQ2 フェルミオン系とボソン系において、多粒子積状態における期待値の計算複雑性はどのように異なるか。
• RQ3 最終状態の単粒子状態が有限個に制限される場合、完全統計的カウント問題は単純化可能か。
• RQ4 自由フェルミオンおよび自由ボソン系において、行列パーマネントの計算の複雑さと完全統計的カウントの複雑さの関係は何か。

主な発見

• 多粒子積状態における単粒子演算子の期待値は、初期状態に応じて多項式時間で計算可能になる場合もあれば、行列パーマネントの計算と同程度に計算が困難になる場合もある。
• フェルミオン積状態の場合、最終状態空間が有限個の単粒子状態に制限されると、完全統計的カウントの生成関数は効率的に計算可能になる。
• 単一ボソン積状態の場合、同じ有限状態制限のもとで生成関数は効率的に計算可能になり、これはボソンサンプリングモデルと整合的である。
• 個々の期待値の計算の困難さが、有限状態制限のもとで完全統計的カウントの生成関数にまで拡張されないことがある。
• これらの結果は、多粒子積状態が、個々の行列要素の計算が困難であっても、量子計算リソースとして実用的である可能性を示唆している。