[論文レビュー] Complexity of Graph State Preparation

Mehdi Mhalla, Simon Perdrix|ArXiv.org|Dec 9, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、測定に基づく量子計算におけるグラフ状態の準備の複雑さを調査し、アーキテクチャの3つのパラメータに注目する：アーキテクチャの補助キュービット数、基本的演算子のサイズ、論理的深さ。補助キュービット数と演算子サイズを最小化する最適なアルゴリズムを提示し、任意のグラフ状態が2キュービット測定と定数時間で準備可能であることを証明するとともに、補助キュービットを一切使用しない場合の測定サイズに対する下界δ_loc(G)+1を確立する。

ABSTRACT

The graph state formalism is a useful abstraction of entanglement. It is used in some multipartite purification schemes and it adequately represents universal resources for measurement-only quantum computation. We focus in this paper on the complexity of graph state preparation. We consider the number of ancillary qubits, the size of the primitive operators, and the duration of preparation. For each lexicographic order over these parameters we give upper and lower bounds for the complexity of graph state preparation. The first part motivates our work and introduces basic notions and notations for the study of graph states. Then we study some graph properties of graph states, characterizing their minimal degree by local unitary transformations, we propose an algorithm to reduce the degree of a graph state, and show the relationship with Sutner sigma-game. These properties are used in the last part, where algorithms and lower bounds for each lexicographic order over the considered parameters are presented.

研究の動機と目的

• 測定のみの量子計算におけるグラフ状態の準備の複雑さを特徴づけること。
• 補助キュービット数、基本的演算子のサイズ、論理的深さという3つの主要な複雑さパラメータの間のトレードオフを分析すること。
• これらのパラメータの辞書的順序ごとに、タイトな上界と下界を確立すること。
• 局所補完と局所補完下での最小次数δ_loc(G)が、最適化された準備プロトコルにおける役割を明らかにすること。
• 論理的深さと測定サイズの下界を含め、グラフ状態準備の完全な複雑さの特徴づけを提供すること。

提案手法

• グラフGを局所補完操作により、最小次数δ_loc(G)を有する形に変換することで、最適化された状態準備を可能にする。
• d-局所的に均等に見られる集合の概念を適用し、δ_loc(G)をバウンドすることで、局所ユニタリ操作による達成可能な最小次数の上界を導出する。
• 補助キュービットを用いてエッジを並列に追加する測定ベースのエッジ単位の準備プロトコルを開発し、論理的深さを低減する。
• 2段階の準備アルゴリズムを導入：まずk個の補助キュービットを用いて非隣接エッジを追加し、次に残りの頂点を頂点単位で追加する。
• 量子安定化子形式とパウリ測定に基づく状態準備を用い、異なる測定結果によって安定化される直交部分空間を扱う。
• エッジ彩色とパrameterバランス（k）による最適化を適用し、論理的深さを最小化し、m本のエッジとn個の頂点を持つグラフに対してO(m/√n)の深さを達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のグラフ状態を射影測定のみで準備するために必要な補助キュービットの最小数は何か？
• RQ2 補助キュービットを一切使用しない場合に、グラフ状態を準備するために必要な基本的演算子（測定基底）の最小サイズは何か？
• RQ3 グラフ状態を準備する最適な論理的深さは何か？ また、グラフのパラメータにどのように依存するか？
• RQ4 局所補完下での最小次数δ_loc(G)は、グラフ状態準備の複雑さとどのように関係するか？
• RQ5 局所補完下での次数やエッジ数の最小化というグラフパラメータの最小化の複雑さは、計算複雑性の観点から特徴づけられるか？

主な発見

• 任意のグラフ状態は、2キュービット測定のみで補助キュービットを一切使用せずに、定数時間で準備可能である。
• 補助キュービットを一切使用しない準備において、必要な最小測定サイズは正確にδ_loc(G)+1であり、ここでδ_loc(G)は局所補完によって達成可能な最小次数である。
• 補助キュービットを一切使用せず、論理的深さがO(m / √n)で上界が与えられる準備プロトコルが存在する。ここでmはエッジ数、nは頂点数である。
• 測定設定によって生成される互いに直交する安定化子状態の数は2^{|D|}である。これは、測定ベースの変換が部分空間上で恒等写像として作用することを証明する。
• d-局所的に均等に見られる集合の存在は、δ_loc(G) ≤ d−1を示し、局所ユニタリ操作によるグラフの最小次数の低減のための構造的条件を提供する。
• グラフ状態準備の論理的深さの下界については未解決の問題のままだが、本稿では補助キュービット数と測定サイズの両方についてタイトな下界を確立している。