[論文レビュー] Complexity of intersections of real quadrics and topology of symmetric determinantal varieties

Antonio Lerario|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、スペクトル系列と対称的行列式多様体の位相を用いて、$\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ 内の $k$ 個の二次形式の実交差の全ベッチ数の新しい位相的上限を確立する。特異点の位相的複雑さを摂動と双対性原理を用いて分析することにより、従来のバスクの $O(n)^{2k+2}$ よりも顕著に改善された $b(X) \leq O(n)^{k-1}$ を得る。

ABSTRACT

Let X be the base locus of a linear system W of k quadrics. Let also S be the intersection of W with the discriminant hypersurface in the space of all homogeneous polynomials of degree two. We prove a formula relating the topology of X with the one of S and its (iterated) singular points. As a corollary we prove the sharp bound b(X)\leq O(n)^{k-1}.

研究の動機と目的

• 実射影空間 $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ 内の $k$ 個の二次形式の実交差 $X$ の全ベッチ数 $b(X)$ を評価すること。
• $k$ 次元線形系 $W$ 内の退化二次形式の集合として定義される対称的行列式多様体 $\Sigma_W^{(r)}$ の位相的複雑さを理解すること。
• 二次形式の個数 $k$ と次元 $n$ の間の双対性を、実代数的設定におけるバーヴィノクの双対性原理を一般化することで、利用してより鋭い上限を得ること。
• 既存の半代数的複雑度推定値、特にバスクの $O(n)^{2k+2}$ の上限よりも鋭く、内在的な上限を $b(X)$ に与えること。
• 負定値二次形式に沿った線形系 $W$ の摂動を用いて、非一般の場合に対しても上限を拡張すること。

提案手法

• A. A. アグラチェフが開発し、著者が拡張したスペクトル系列を用いて、$X$ の位相と特異点集合 $\Sigma_W^{(r)}$ の位相を関連付ける。
• 小さな負定値二次形式 $-\epsilon q$ の方向に線形系 $W$ を平行移動することで、$W_\epsilon = W - \epsilon q$ を得る摂動を導入する。
• 二次形式空間内の球面と $W_\epsilon$ の交差として定義される $\Sigma_\epsilon^{(r)}$ の位相を分析する。ここで $\dim \ker(q) \geq r$ である。
• 一般および非一般の $W$ に対して有効な不等式 $b(X) \leq b(\mathbb{R}\mathrm{P}^n) + \frac{1}{2} \sum_{r \geq 1} b(\Sigma_\epsilon^{(r)})$ を適用する。
• 余次元の議論により、$\binom{r+1}{2} \geq k$ のとき $\Sigma_W^{(r)}$ が空集合であることを示し、和の項数を $O(k)^{1/2}$ 項に制限する。
• 複素代数幾何の技術、特に実行列式多様体を複素完全交差に摂動することで、複素ベッチ数を用いて $b(\Sigma_\epsilon^{(r)})$ を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実射影空間 $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ 内の $k$ 個の二次形式の実交差の、全ベッチ数としての鋭い位相的複雑度は何か？
• RQ2 線形系内での退化形式の集合として定義される対称的行列式多様体 $\Sigma_W^{(r)}$ の位相は、基本的基底 $X$ の位相をどのように制御するか？
• RQ3 二次形式の個数 $k$ と次元 $n$ の間の双対性を、従来の半代数的複雑度推定値を上回るより鋭い上限を得るために活用できるか？
• RQ4 線形系 $W$ の非一般性が $X$ の位相的複雑度に与える影響は何か？ そして、負定値二次形式に沿った摂動によってどのように是正できるか？
• RQ5 特に実設定において、代数的および幾何的技法を用いて $\Sigma_W^{(r)}$ のホモロジー的複雑度をどの程度まで制限できるか？

主な発見

• 本稿は、$\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ 内の $k$ 個の実二次形式の交差 $X$ の全ベッチ数について、$b(X) \leq O(n)^{k-1}$ の上限を確立する。これはバスクの $O(n)^{2k+2}$ の上限よりも顕著に改善されたものである。
• 一般の $W$ に対しては、$b(X) \leq b(\mathbb{R}\mathrm{P}^n) + \frac{1}{2} \sum_{r \geq 1} b(\Sigma_W^{(r)})$ が成り立ち、余次元の制約により和に含まれる非空な項は高々 $O(k)^{1/2}$ 個である。
• 非一般の場合でも、線形系 $W$ を小さな負定値二次形式に沿って摂動することで、不等式 $b(X) \leq b(\mathbb{R}\mathrm{P}^n) + \frac{1}{2} \sum_{r \geq 1} b(\Sigma_\epsilon^{(r)})$ が依然有効である。
• $\binom{r+1}{2} \geq k$ のとき $\Sigma_W^{(r)}$ が空集合であることが示され、和の項数が制限され、有限性が保証される。
• $k=3$ の場合、$b(X) \leq n^2 + O(n)$ の上限が鋭く、実完全交差としての三つの二次形式の最大複雑度と一致する。
• $k=4$ の場合、$b(X) \leq 16n^3 + O(n)$ の上限が得られるが、複素の場合の上限 $\frac{2}{3}n^3 + O(n)$ と比較すると形状が最適でないことが指摘され、特異点の局所的構造の精密な解析によりさらなる改善が可能であると考えられる。