[論文レビュー] Complexity of multivariate Feynman-Kac path integration in randomized and quantum settings

Marek Kwas|ArXiv.org|Oct 18, 2004

Coding theory and cryptography参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、古典的最悪ケース設定において次元の呪いに苦しむ多次元フェインマン＝カック経路積分問題が、確率的および量子的設定において指数的高速化を達成することを確立している。確率的および量子的アルゴリズムによる一様近似を活用することで、複雑さはε⁻¹の多項式的依存となり、次元dに依存せず、指数はそれぞれ最大2（確率的）および1（量子）となる。これにより、次元の呪いが克服される。

ABSTRACT

The Feynman-Kac path integration problem was studied in the worst case setting by Plaskota et al. (J. Comp. Phys. 164 (2000) 335) for the univariate case and by Kwas and Li (J. Comp. 19 (2003) 730) for the multivariate case with d space variables. In this paper we consider the multivariate Feynman-Kac path integration problem in the randomized and quantum settings. For smooth multivariate functions, it was proven in Kwas and Li (2003) that the classical worst case complexity suffers from the curse of dimensionality in d. We show that in both the randomized and quantum settings the curse of dimensionality is vanquished, i.e., the number of function evaluations and/or quantum queries required to compute an e-approximation has a bound independent of d and depending polynomially on 1/e. The exponents of these polynomials are at most 2 in the randomized setting and at most 1 in the quantum setting. Hence we have exponential speedup over the classical worst case setting and quadratic speedup of the quantum setting over the randomized setting. However, both the randomized and quantum algorithms presented here still require extensive precomputing, similar to the algorithms of Plaskota et al. (2000) and Kwas and Li(2003).

研究の動機と目的

• 空間変数の数dが増加する際、古典的最悪ケース複雑性に苦しむ多次元フェインマン＝カック経路積分における次元の呪いを克服すること。
• 確率的および量子的設定における多次元フェインマン＝カック経路積分問題の計算複雑度を分析すること。
• 古典的最悪ケース設定よりも改善された複雑さの境界を達成する一様近似に基づく効率的アルゴリズムの開発。
• 確率的および量子的アルゴリズムが両方とも次元の呪いを打ち破ることを示し、量子設定が確率的設定に対して2乗の高速化を達成すること。

提案手法

• 本研究では、多次元フェインマン＝カック経路積分問題を解くためのコアな計算ブロックとして一様近似を採用している。
• 確率的アルゴリズムは、分散低減技術を用いたモンテカルロ型サンプリングを構築することで収束速度を向上させている。
• 量子アルゴリズムは、アダミット増幅と量子クエリモデルを用いて、古典的確率的手法よりも高速な収束を達成するように設計されている。
• 複雑さの境界は、確率的および量子的設定においてタイトな境界が知られている多次元重み付き積分問題に経路積分問題を関連させることで導出されている。
• r回連続的に微分可能な関数のクラスFに属する滑らかな関数に対して、一様近似の複雑さがε⁻¹であることが示されているが、その指数はdおよびrに依存する。
• 理論的解析により、確率的アルゴリズムのコストがO(ε⁻²/(1+2r/d))とスケーリングされ、量子アルゴリズムのコストがO(ε⁻¹/(1+r/d))とスケーリングされ、両者とも漸近的順序でdに依存しないことが確認されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多次元フェインマン＝カック経路積分における次元の呪いは、確率的および量子的設定で克服可能か？
• RQ2 確率的および量子的設定において、多次元フェインマン＝カック経路積分のε-近似を計算する際の正確な複雑さは何か？
• RQ3 古典的最悪ケース設定に対するクエリ複雑さおよび高速化の観点から、確率的および量子的アルゴリズムはどのように比較できるか？
• RQ4 提案された確率的および量子的アルゴリズムは、多次元フェインマン＝カック経路積分問題に対して最適か？
• RQ5 入力関数の滑らかさ（rで測定）は、確率的および量子的設定における複雑さを決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 多次元フェインマン＝カック経路積分の古典的最悪ケース複雑さは、dおよびrに依存する指数を持つε⁻¹として増大し、次元の呪いに苦しむ。
• 確率的設定では、複雑さがO(ε⁻²/(1+2r/d))で有界であり、漸近的順序でdに依存せず、ε⁻¹に対して多項式的依存で指数は最大2である。
• 量子設定では、複雑さがO(ε⁻¹/(1+r/d))で有界であり、指数は最大1であり、大規模なdに対して確率的設定よりも2乗の高速化を達成する。
• r回連続的に微分可能な関数のクラスに対して、確率的複雑さはO(ε⁻²/(1+2r/d))、量子複雑さはO(ε⁻¹/(1+r/d))とスケーリングされ、両者とも主要な順序でdに依存しない。
• 提案された確率的および量子的アルゴリズムは、多次元積分問題における既知の下界と一致するため、概ね最適である。
• 周期関数で滑らかさがrの場合は、同じ複雑さの境界が成り立ち、積分複雑さからの一致する下界のため、アルゴリズムは最適である。