[論文レビュー] Complexity of Propositional Abduction for Restricted Sets of Boolean Functions

Nadia Creignou, Johannes Schmidt+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2009

Advanced Algebra and Logic参考文献 28被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、ポストのラティスを用いて、すべての制限付きブール関数集合に対して命題的帰納の完全な複雑性分類を提供する。これは、 tractable（P、NP、⊕L）および intractable（Σ₂^p-complete、#·coNP-complete、#P-complete）なケースを特定する。複雑性は集合Bに含まれるブール関数の表現力に依存しており、x∨(y∧¬z) や線形表現可能性といった関数が重要な閾値を形成する。

ABSTRACT

Abduction is a fundamental and important form of non-monotonic reasoning. Given a knowledge base explaining how the world behaves it aims at finding an explanation for some observed manifestation. In this paper we focus on propositional abduction, where the knowledge base and the manifestation are represented by propositional formulae. The problem of deciding whether there exists an explanation has been shown to be SigmaP2-complete in general. We consider variants obtained by restricting the allowed connectives in the formulae to certain sets of Boolean functions. We give a complete classification of the complexity for all considerable sets of Boolean functions. In this way, we identify easier cases, namely NP-complete and polynomial cases; and we highlight sources of intractability. Further, we address the problem of counting the explanations and draw a complete picture for the counting complexity.

研究の動機と目的

• 知識ベースと兆候が、固定されたブール関数集合Bから構築された論理式に制限された場合の命題的帰納の計算複雑性を分類すること。
• 帰納問題が tractable（P、NP、または ⊕L に属する）または intractable（Σ₂^p-complete）となる正確な条件を特定すること。
• 帰納の数え上げ版への分析を拡張し、完全な、正の、部分集合最小の説明の複雑性を分類すること。
• Bの閉包性質、特に単調性、線形性、および重要な関数の表現力の分析を通じて、intractability の原因を特定すること。

提案手法

• ポストのラティスを活用し、閉包性質（例：単調性、線形性、自己双対性）に基づいて、ブール関数集合Bのすべての可能な組み合わせを分類する。
• 構造的還元を用いて難易度を示し、特に数え上げ複雑性のためのパーソニャス還元と、#P-完全性のためのチューリング還元を適用する。
• 線形クラスター（L）に対してガウスの消去法を用い、決定問題および数え上げ問題の多項式時間解法を示す。
• 既知の難問（例：#Positive-2-SAT、coNP-完全問題）を、特定のBに対して等価な帰納インスタンスに論理的変換する。
• 知識ベース（Γ）、兆し（A）、および候補となる説明（E）の間の相互作用を、さまざまな表現形（リテラル、節、項、B-論理式）で分析する。
• 数え上げ複雑性に対して三段階分類を確立：[B] に応じて、FP、#·coNP-complete、または #P-complete となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの集合Bのブール関数に対して、命題的帰納が多項式時間で決定可能であり、NP完全、またはΣ₂^p完全となるか？
• RQ2 Bのどの構造的性質（例：単調性、線形性、特定関数の表現力）が帰納問題の複雑性を決定づけるか？
• RQ3 異なるブール関数のクラスターにおいて、完全な説明の数え上げ複雑性はどのように変化するか？
• RQ4 兆しをリテラル、節、項、またはB-論理式に制限した場合、全体の複雑性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 クラスター[B]に応じて、帰納の数え上げ複雑性がFP、#·coNP-complete、または#P-completeに完全に分類可能か？

主な発見

• Bが x∨(y∧¬z)、x∧(y∨¬z)、または (x∧y)∨(x∧¬z)∨(y∧¬z) を表現可能である場合、帰納問題はΣ₂^p-completeである。これは非単調的推論に起因する高い非 tractability を示す。
• Bに含まれるすべての関数が単調的であり、かつ x∨(y∧z)、x∧(y∨z)、または (x∧y)∨(x∧z)∨(y∧z) を表現可能である場合、問題はNP完全となる。
• B-論理式が線形（すなわち、GF(2)上での線形方程式として表現可能）であり、かつ1つ以上の変数に依存する場合、問題は⊕Lに属し、⊕L-hardである。
• 上記のすべてのケースを除く残りのすべての場合（例：BがクラスターLまたはNを生成する場合）、問題はLOGSPACEで決定可能である。
• 完全な説明の数え上げに関しては、クラスターE、N、Lでは複雑性はFP、V₂を含むクラスターでは#·coNP-complete、単調的クラスターMでは#P-completeとなる。
• 数え上げ複雑性は三段階分類を示す：[B] に応じて、FP、#·coNP-complete、または#P-complete となる。後者の2つは、正の説明や部分集合最小の説明に対しても依然として困難である。