[論文レビュー] Complexity of Searching Maximum of a Function on Quantum Computer

Maciej Goćwin|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、ホルダー空間に属する関数の最大値を量子コンピュータを用いて求める問題に対して、上界と下界を厳密に特定し、古典的決定的および確率的アルゴリズムに対して2乗の高速化を実証した。これは、量子クエリ複雑性と離散的最大値探索技術を活用することで達成された。

ABSTRACT

In this paper we deal with a problem of finding maximum of a function from the Holder class on quantum computer. We present matching lower and upper bounds on the complexity of this problem in the quantum query model. We prove upper bounds by constructing an algorithm that uses the algorithm for finding maximum of discrete sequence. To prove lower bounds we use result for finding logical OR of sequence of bits. We show that quantum computer yields a quadratic speed-up over deterministic and randomized algorithms.

研究の動機と目的

• ホルダー空間に属する関数の最大値を求めるための量子クエリ複雑性を特定すること。
• 必要な量子クエリ数のタイトな上界と下界を確立すること。
• 古典的決定的および確率的アルゴリズムと比較して、量子計算の複雑性を評価すること。
• 量子計算が、この最適化問題において2乗の高速化を達成できることを示すこと。

提案手法

• 連続的最大値探索問題を、有限列上の離散的最大値探索問題に還元する量子アルゴリズムを構築すること。
• 既知の離散列の最大値を求めるための量子アルゴリズムをサブルーチンとして利用すること。
• ビットストリングの論理積（OR）を計算するための量子クエリ複雑性に基づく下界技術を適用すること。
• ホルダー空間の滑らかさの性質を用いて関数の変動を制御し、離散化を可能にすること。
• 量子クエリモデルにおいて、一致する上界と下界を確立することで最適性を証明すること。
• ホルダー空間の構造を活用して、離散化誤差が有界かつ制御可能であることを保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホルダークラス関数の最大値を求めるための量子クエリ複雑性は何か？
• RQ2 この問題に対して、量子アルゴリズムは、古典的決定的および確率的アルゴリズムに対して、証明可能な高速化を達成できるか？
• RQ3 必要な量子クエリ数のタイトな上界と下界は何か？
• RQ4 ホルダークラス関数の滑らかさは、量子最大値探索アルゴリズムの設計と複雑性にどのように影響するか？

主な発見

• ホルダークラス関数の最大値を求めるための量子クエリ複雑性は、タイトに束縛されており、最適性が確立された。
• 離散的最大値探索をサブルーチンとして用いることで、上界に達する量子アルゴリズムが構築された。
• 下界は、ビットストリングの論理積（OR）を計算するための量子クエリ複雑性に基づいて導出された。
• 量子アプローチは、古典的決定的および確率的アルゴリズムに比べて2乗の高速化を提供する。
• 結果は量子クエリモデルにおいて有効であり、量子計算がこのクラスの連続最適化問題において顕著な優位性を示していることを確認した。