[論文レビュー] Complexity of the Fourier transform on the Johnson graph

Rodrigo Iglesias, Mauro Natale|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、変換行列の因子分解を用いて、ジョンソングラフ $J(n,k)$ 上のフーリエ変換を高速フーリエ変換（FFT）風のアルゴリズムで計算する手法を提示している。変換行列は $n-1$ 個のスパース直交行列に分解され、各列に高々2つの非ゼロ要素を持つ。この手法により、計算量は $inom{n}{k}^2$ から $O(ninom{n}{k})$ に削減され、$k$ が $ar{\sqrt{n}}$ を上回る場合に従来の境界を著しく改善する。また、同型成分の射影やスペクトル成分の効率的計算が可能になる。

ABSTRACT

The set $X$ of $k$-subsets of an $n$-set has a natural graph structure where two $k$-subsets are connected if and only if the size of their intersection is $k-1$. This is known as the Johnson graph. The symmetric group $S_n$ acts on the space of complex functions on $X$ and this space has a multiplicity-free decomposition as sum of irreducible representations of $S_n$, so it has a well-defined Gelfand-Tsetlin basis up to scalars. The Fourier transform on the Johnson graph is defined as the change of basis matrix from the delta function basis to the Gelfand-Tsetlin basis. The direct application of this matrix to a generic vector requires $\binom{n}{k}^2$ arithmetic operations. We show that --in analogy with the classical Fast Fourier Transform on the discrete circle-- this matrix can be factorized as a product of $n-1$ orthogonal matrices, each one with at most two nonzero elements in each column. This factorization shows that the number of arithmetic operations required to apply this matrix to a generic vector is bounded above by $2(n-1) \binom{n}{k}$. As a consequence, we show that the problem of computing all the weights of the irreducible components of a given function can be solved in $O(n \binom{n}{k})$ operations, improving the previous bound $O(k^2 \binom{n}{k})$ when $k$ asymptotically dominates $\sqrt{n}$ in a non-uniform model of computation. The same improvement is achieved for the problem of computing the isotypic projection onto a single component. The proof is based on the construction of $n-1$ intermediate bases, each one parametrized by certain pairs composed by a standard Young tableau and a word. The parametrization of each basis is obtained via the Robinson-Schensted insertion algorithm.

研究の動機と目的

• ランク付きデータのスペクトル解析や符号理論に現れるジョンソングラフ $J(n,k)$ における非アーベルフーリエ変換を効率的に計算するためのアルゴリズムを開発すること。
• 特に $k$ が $ar{\sqrt{n}}$ より速く増加する場合に、$X = \binom{[n]}{k}$ 上の関数の同型成分の射影やスペクトル成分の代数的計算量を低減すること。
• 元来アーベル群（例：$\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}$）に対して開発されたFFTのパラダイムを、組合せ的構造（例えばジョンソングラフ）における非アーベル群作用へ一般化すること。
• 標準ヤング盤と2進語でパrameter化された中間正規直交基底を構成し、ゲルファンド＝ツェトリン基底への変換行列の階層的かつスパースな因子分解を可能とすること。

提案手法

• 著者らは、高さが2以下の標準ヤング盤と $\{1,2\}$ 内の語からなるペアでパラメータ化される $n-1$ 個の中間正規直交基底 $B_1, \dots, B_{n-1}$ を定義する。
• 各基底変換行列 $[B_{i-1}]_{B_i}$ は、各列に高々2つの非ゼロ要素を持つように構成され、各ステップの計算コストを低減する。
• 構成はロビンソン＝シェンステッド挿入アルゴリズムに依存しており、各基底ラベルの水平ラインは、2進語の文字を順に挿入することで生成されるヤング盤の系列に対応する。
• 全フーリエ変換は、$n-1$ 個のこのようなスパース行列の積として実現され、$O(n\binom{n}{k})$ 操作でベクトルに適用可能になる。
• 逆変換も同様に因子分解を用いて計算可能であり、前方変換と逆変換の両方を効率的に実行できる。
• 同型成分の射影は、ゲルファンド＝ツェトリン基底に変換し、目的の同型部分空間に属さない成分をゼロにした後、元の基底に戻すことで効率的に計算可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョンソングラフ上の非アーベルフーリエ変換は、巡回群上の古典的FFTと同様に、次元 $inom{n}{k}$ に対して準二次時間で計算可能か？
• RQ2 集合 $inom{[n]}{k}$ 上における対称群作用のどの構造的性質が、ゲルファンド＝ツェトリン基底への変換行列の階層的かつスパースな因子分解を可能にするか？
• RQ3 ロビンソン＝シェンステッド挿入アルゴリズムをどのように用いることで、$O(n\binom{n}{k})$ の計算量を持つ高速変換に対応する中間基底を構成できるか？
• RQ4 同型成分やそのノルムの計算に $O(n\binom{n}{k})$ の計算量が得られることにより、従来の方法を上回る性能が得られるか、特に $k \gg \sqrt{n}$ の場合に有効か？
• RQ5 $n$ と $inom{n}{k}$ に関して多項式時間で、$n-1$ 個のスパース変換行列 $[B_{i-1}]_{B_i}$ を事前計算する効率的アルゴリズムは存在するか？

主な発見

• ジョンソングラフ上のフーリエ変換は、$O(n\binom{n}{k})$ の算術演算で計算可能であり、ナイーブな $inom{n}{k}^2$ の境界に比べて顕著な改善が得られる。
• 変換は、各列に高々2つの非ゼロ要素を持つ $n-1$ 個の直交行列の積として因子分解され、ベクトルへの適用が効率的に行える。
• 変換行列を事前計算した後、1つの既約成分への同型射影は $O(n\binom{n}{k})$ 演算で計算可能である。
• すべての二乗重み $\|f_a\|^2$ の同型成分の計算は、最大 $(2n-1)\binom{n}{k}$ 演算で実行可能である。
• 非一様計算モデルにおいて $k$ が $ar{\sqrt{n}}$ を漸近的に上回る場合、同型成分の計算に $O(k^2\binom{n}{k})$ の境界を改善する。
• 著者らは、ある定数 $c$ に対して、変換行列 $[B_{i-1}]_{B_i}$ が $O(n^c \binom{n}{k})$ 時間で事前計算可能であると予想しているが、そのようなアルゴリズムは提示されていない。