[論文レビュー] Complexity of the Guided Local Hamiltonian Problem: Improved Parameters and Extension to Excited States

Chris Cade, Marten Folkertsma+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ガイド付き局所ハミルトニアン低エネルギー（GLHLE）問題が、大幅に改善されたパラメータ下でもBQP完全性を有することを確立している。2局所ハミルトニアンにおいて、目的固有状態とフィデリティが1 − Ω(1/poly(n))に達するガイド状態を用い、また基底状態だけでなく励起状態のエネルギー推定も含む。先行研究と比較して、局所性、フィデリティ、および目的状態の制約を緩和したが、量子優位性は、ガイド状態が目的状態とほとんど区別できない状態であっても依然として成立することを示している。

ABSTRACT

Estimating the ground state energy of a local Hamiltonian is a central problem in quantum chemistry. In order to further investigate its complexity and the potential of quantum algorithms for quantum chemistry, Gharibian and Le Gall (STOC 2022) recently introduced the guided local Hamiltonian problem (GLH), which is a variant of the local Hamiltonian problem where an approximation of a ground state (which is called a guiding state) is given as an additional input. Gharibian and Le Gall showed quantum advantage (more precisely, BQP-completeness) for GLH with 6-local Hamiltonians when the guiding state has fidelity (inverse-polynomially) close to 1/2 with a ground state. In this paper, we optimally improve both the locality and the fidelity parameter: we show that the BQP-completeness persists even with 2-local Hamiltonians, and even when the guiding state has fidelity (inverse-polynomially) close to 1 with a ground state. Moreover, we show that the BQP-completeness also holds for 2-local physically motivated Hamiltonians on a 2D square lattice or a 2D triangular lattice. Beyond the hardness of estimating the ground state energy, we also show BQP-hardness persists when considering estimating energies of excited states of these Hamiltonians instead. Those make further steps towards establishing practical quantum advantage in quantum chemistry.

研究の動機と目的

• 基底状態に限らない任意の固有状態を含むガイド付き局所ハミルトニアン問題の一般化。
• 問題がBQP完全性を保つパrameter領域の改善、特にハミルトニアンの局所性を低減すること。
• フィデリティが1 − Ω(1/poly(n))に達する高精度ガイド状態が、問題を古典的に行えるようにはしないことの証明。
• 基底状態ではなく励起状態のエネルギー推定が、同じ改善された条件下でも依然BQP完全性を保つことの確立。

提案手法

• 著者らは、基底状態に限らない任意の固有状態を扱うGLHLE問題を、ガイド付き局所ハミルトニアン問題の一般化として導入した。
• 量子計算を局所ハミルトニアンに埋め込むために、Feynman-Kitaev回路からハミルトニアンへの変換を用い、難易度に関する結果を得た。
• 解析は、ガイド状態と目的固有状態との間のフィデリティ境界に依存しており、ガイド状態は半古典的であると仮定している。
• BQPに含まれることの証明には、アダミット増幅と量子エネルギー推定アルゴリズムを用い、ガイド状態と目的状態との重なり（フィデリティ）を活用した。
• 誤差低減技術を適用して成功確率を増幅し、励起状態の場合には多数決によるChernoff境界を用いた。
• 難易度結果は、問題が古典的に解けると仮定するとBQPがBPPに収縮することになり、標準的な複雑度仮定に矛盾することを示すことによって導出された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアンが6局所ではなく2局所である場合、ガイド付き局所ハミルトニアン問題は依然BQP完全性を保つか？
• RQ2 ガイド状態のフィデリティが1/2 − Ω(1/poly(n))ではなく、1 − Ω(1/poly(n))に達する場合、問題は依然BQP完全性を保つか？
• RQ3 基底状態ではなく励起状態（c ≥ 1）のエネルギー推定を行う場合、問題は依然BQP完全性を保つか？
• RQ4 ガイド状態が複数の固有状態と重なりを示す役割は、量子難易度の維持にどのように寄与するか？

主な発見

• ハミルトニアンが2局所で、ガイド状態と目的固有状態とのフィデリティがζ = 1 − Ω(1/poly(n))である場合、GLHLE問題はBQP完全である。
• 励起状態（c ≥ 1）のエネルギー推定において、ガイド状態と目的固有状態とのフィデリティがζ = 1/2 + Ω(1/poly(n))である場合、問題はBQP完全性を保つ。
• 基底状態エネルギー推定において、ハミルトニアンがO(log n)-局所で、フィデリティがζ = Ω(1/poly(n))である場合、問題はBQPに属する。
• 励起状態エネルギー推定において、ハミルトニアンがO(log n)-局所で、フィデリティがζ = 1/2 + Ω(1/poly(n))、精度δ = 1/O(poly(n))である場合、問題はBQPに属する。
• ガイド状態が目的状態とほぼ完全なフィデリティを持つ場合でも、BQP完全性は維持され、これはガイド状態がΩ(poly(n))個の他の固有状態とも非無視可能な重なりを持つ必要があることを示唆している。
• この結果は、この問題における量子優位性が、単に逆多項式精度によるものではなく、ガイド状態が複数の固有状態と示す複雑な重なり構造にも起因していることを示している。