[論文レビュー] Complexity of the quorum intersection property of the Federated Byzantine Agreement System

Łukasz Lachowski|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2019

Distributed systems and fault tolerance参考文献 5被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、フェデレーテッド・バシルトゥス・アポイントメント・システム（FBAS）におけるコア問題の計算複雑性を確立し、排反クォーラム問題がNP完全であることを証明するとともに、最小クォーラム問題がNP困難であることを示している。さらに、クォーラムサブセット問題がP完全であり、線形時間で解けることを示しており、パrameterized複雑性の分析を通じて、x-y-MQP(k)問題がW[1]-困難であることを示し、クォーラムスライスの制限付き条件下では固定パラメータ可 tractability を示している。

ABSTRACT

A Federated Byzantine Agreement System is defined as a pair $(V, Q)$ comprising a set of nodes $V$ and a quorum function $Q: V \mapsto 2^{2^{V}} \setminus \{\emptyset\}$ specifying for each node a set of subsets of nodes, called quorum slices. A subset of nodes is a quorum if and only if for each of its nodes it also contains at least one of its quorum slices. The Disjoint Quorums Problem answers the question whether a given instance of \acrlong{fbas} contains two quorums that have no nodes in common. We show that this problem is $\mathsf{NP-complete}$. We also study the problem of finding a quorum of minimal size and show it is $\mathsf{NP-hard}$. Further, we consider the problem of checking whether a given subset of nodes contains a quorum for some selected node. We show this problem is $\mathsf{P-complete}$ and describe a method that solves it in linear time with respect to number of nodes and the total size of all quorum slices. Moreover, we analyze the complexity of some of these problems using the parametrized point of view.

研究の動機と目的

• フェデレーテッド・バシルトゥス・アポイントメント・システム（FBAS）における排反クォーラム問題の計算複雑性を特定すること。
• FBAS構成における最小および最小クォーラムを見つける問題の複雑性を分析すること。
• 与えられたノード集合が特定のノードに対してクォーラムを含むかどうかを検証する問題の複雑性を研究すること。
• クォーラムスライスの制限付き条件下でのクォーラム問題のパrameterized複雑性を調査すること。
• パrameterized変種の最小クォーラム問題に関して、固定パラメータ可 tractability および困難性の結果を確立すること。

提案手法

• 3-SATからの還元を用いて、排反クォーラム問題がNP完全であることを証明し、排反クォーラムを検出するためのランダム化カラーリングを用いたカラーリング技術を適用する。
• ノード集合とクォーラムスライスを用いた動的計画法に基づく線形時間アルゴリズムを構築することで、クォーラムサブセット問題がP完全であることを示す。
• カラーリングとユニバーサル集合の非ランダム化を適用し、排反クォーラム問題（k）のランダム化FPTアルゴリズムを設計し、O(2^k * n)時間で実行する。
• クリーク(k)問題からのFPT還元を用いて、x-y-MQP(k)がW[1]-困難であることを証明し、クォーラムスライスの圧縮表現でさえも、問題が解けないことを示す。
• 制限付き探索と枝刈りを用いて、MQP(k,r)をO((kr)^k * n^O(1))時間で解く。これにより、クォーラムスライス数の制限付きで固定パラメータ可 tractability が確立される。
• 明示的なクォーラムスライス列挙（plain-FBAS）と「x 個中 y 個」の形式による圧縮表現（x-y-FBAS）を区別し、両モデル下での複雑性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FBASにおける排反クォーラム問題は、ノード1つあたり最大2つのクォーラムスライスと、スライス1つあたり最大2つの要素を持つ制限付き構成でもNP完全であるか？
• RQ2 クォーラムサイズkとノード1つあたりの最大クォーラムスライス数rをパラメータとする最小クォーラム問題のパrameterized複雑性は何か？
• RQ3 クォーラムサブセット問題は多項式時間で解けるか？ その正確な複雑性クラスは何か？
• RQ4 クォーラムスライスが「x 個中 y 個」表記で圧縮的に符号化されている場合、x-y-MQP(k)問題はW[1]-困難であるか？
• RQ5 クォーラムスライスサイズとスライス数の制限付き構造的制約下でも、最小クォーラム問題はNP困難のままか？

主な発見

• 排反クォーラム問題は、ノード1つあたり最大2つのクォーラムスライスと、スライス1つあたり最大2つのノードを含む制限付きケースでさえも、NP完全である。
• クォーラムサブセット問題はP完全であり、本論文ではnがノード数、mがすべてのクォーラムスライスの合計サイズであるO(n + m)時間で実行される線形時間アルゴリズムを提示している。
• 最小クォーラム問題は、ノード1つあたり最大2つのクォーラムスライスと、スライス1つあたり最大2人のメンバーを持つ場合でさえも、NP困難である。
• x-y-MQP(k)問題はW[1]-困難である。これは、クォーラムサイズkによる標準的パラメータ化では固定パラメータ可 tractable である可能性が低いことを示している。
• MQP(k,r)問題は固定パラメータ可 tractable であり、O((kr)^k * n^O(1))時間で解ける。これは、ノード1つあたりのクォーラムスライス数が制限されていると、効率的なパラメータ化された解法が可能であることを示している。
• 排反クォーラム問題（k）のランダム化FPTアルゴリズムは、O(2^k * n)時間で実行され、一定の成功確率を有する。このアルゴリズムはユニバーサル集合を用いて非ランダム化可能である。