[論文レビュー] Complexity of weakly null sequences

Dale E. Alspach, Spiros A. Argyros|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 1992

Advanced Banach Space Theory参考文献 17被引用数 159

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間における弱収束列の複雑さを測る新しい順序数的インデックス、すなわち振動インデックスを導入する。特に $C(K)$ 空間において、シュレーマー型の構成を反復することで、$ω_1$ まで任意に大きな振動インデックスをもつ弱収束列の列を構成し、それらを用いて高インデックスのツァイレルソン型の反射的空間を構築する。また、このインデックスは、Baire-1関数のラフレントイェフインデックスと関連づけられ、弱収束列の平均化に関する結果が精緻化される。

ABSTRACT

We introduce an ordinal index which measures the complexity of a weakly null sequence, and show that a construction due to J. Schreier can be iterated to produce for each alpha < omega_1, a weakly null sequence (x^{alpha}_n)_n in C(omega^{omega^{alpha}})) with complexity alpha. As in the Schreier example each of these is a sequence of indicator functions which is a suppression-1 unconditional basic sequence. These sequences are used to construct Tsirelson-like spaces of large index. We also show that this new ordinal index is related to the Lavrentiev index of a Baire-1 function and use the index to sharpen some results of Alspach and Odell on averaging weakly null sequences.

研究の動機と目的

• バナッハ空間における弱収束列の複雑さを測る新しい順序数的インデックス（振動インデックス）を定義し、その分析を行う。
• シュレーマーの構成を一般化し、各 $\alpha < \omega_1$ に対して $C(\omega^{\omega^\alpha})$ における振動インデックス $\alpha$ の弱収束列の特性関数列を生成する。
• 振動インデックスが、ボーグァインの $\ell^1$-インデックスおよびBaire-1関数のラフレントイェフインデックスといった既知の順序数的インデックスとどのように関係するかを明らかにする。
• このインデックスを用いて、大きな振動インデックスをもつ反射的ツァイレルソン型空間を構成し、弱収束列の平均化に関する結果を精緻化する。
• 振動インデックス、スプライディングモデルインデックス、および平均化インデックスの関係を明確にし、一般に前者が後者より小さいことを示す。

提案手法

• 弱収束列におけるノルム収束の失敗を追跡する集合 $S^\alpha(\epsilon, (x_n), K)$ の超限反復を用いて、振動インデックスを定義する。
• 順序数 $\omega^{\omega^\alpha}$ 上の木構造による構成を用い、交差性が制御された特性関数の弱収束列を生成する。
• 可算順序数に関する帰納的議論を通じて、振動インデックスとスプライディングモデルインデックスの等価性を確立する。
• 列の点ewise な極限関数のラフレントイェフインデックスと関連づけ、振動インデックスがラフレントイェフインデックスによって上から有界であることを示す。
• オデルの方法を応用し、構成された列を無条件基本列として用いて、大きな振動インデックスをもつ反射的ツァイレルソン型空間を構成する。
• 平均化インデックスが $\ell^1$-インデックスを上回ることを示すために、$\ell^1$ を含まないが平均化インデックスが $\omega_1$ に達するような空間を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱収束列の振動的挙動に基づいて、その複雑さを測る新しい順序数的インデックスを定義できるか？
• RQ2 シュレーマー型の構成を反復することで、任意に大きな振動インデックスをもつ $C(K)$ 空間内の弱収束列を生成できるか？
• RQ3 振動インデックスは、ボーグァインの $\ell^1$-インデックスおよびBaire-1関数のラフレントイェフインデックスとどのように関係するか？
• RQ4 振動インデックスは、弱収束列にノルムゼロの凸ブロック部分列が存在するかどうかをどれほど制御するか？
• RQ5 高振動インデックスをもつ列を用いて、ツァイレルソン空間に類似した大きなインデックスをもつ反射的バナッハ空間を構成できるか？

主な発見

• 任意の可算順序数 $\alpha < \omega_1$ に対して、$C(\omega^{\omega^\alpha})$ 内に振動インデックスがちょうど $\alpha$ である弱収束列 $\left(x_n^\alpha\right)$ が存在する。
• 振動インデックスは、常に列の点wise な極限関数のラフレントイェフインデックス以上に小さく、列の複雑さと関数クラスとの直接的な関連を確立する。
• 振動インデックスは $\ell^1$-インデックスより厳密に小さい。特に、ある列の振動インデックスが $\omega$ であるのに対し、その $\ell^1$-インデックスが $\omega_1$ である例が存在する。
• 任意の弱収束列に対して、ある部分列においてスプライディングモデルインデックスと平均化インデックスは一致する。これは、アルスパッハおよびオデルによる property-$A(k)$ 関連の結果を強化する。
• 平均化インデックスが $\omega_1$ に達するが $\ell^1$ を含まない反射的ツァイレルソン型空間を構成でき、平均化インデックスが $\ell^1$-インデックスによって有界でないことを示す。
• 振動インデックスは、部分列への制限において強く不変である：任意の弱収束列に対して、さらに部分列を取ってもインデックスが変化しないような部分列が存在する。