[論文レビュー] Composability of global phase invariant distance and its application to approximation error management

Priyanka Mukhopadhyay|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 61被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、量子回路近似におけるグローバル位相不変距離の合成可能性を確立し、この距離における誤差バウンドが作用素ノルムにおけるものよりもきびしいことを示している。この距離を用いることで、Rzゲートに誤差を均等に分配するとTカウントが最小化され、近似量子フーリエ変換のような量子回路におけるリソースコストが低減することを示している。

ABSTRACT

Many quantum algorithms can be written as a composition of unitaries, some of which can be exactly synthesized by a universal fault-tolerant gate set, while others can be approximately synthesized. A quantum compiler synthesizes each approximately synthesizable unitary up to some approximation error, such that the error of the overall unitary remains bounded by a certain amount. In this paper we consider the case when the errors are measured in the global phase invariant distance. Apart from deriving a relation between this distance and the Frobenius norm, we show that this distance composes. If a unitary is written as a composition (product and tensor product) of other unitaries, we derive bounds on the error of the overall unitary as a function of the errors of the composed unitaries. Our bound is better than the sum-of-error bound (Bernstein,Vazirani,1997), derived for the operator norm. This indicates that synthesizing a circuit using global phase invariant distance maybe done with less number of resources. Next we consider the following problem. Suppose we are given a decomposition of a unitary. The task is to distribute the errors in each component such that the T-count is optimized. Specifically, we consider those decompositions where $R_z( heta)$ gates are the only approximately synthesizable component. We prove analytically that for both the operator norm and global phase invariant distance, the error should be distributed equally among these components (given some approximations). The optimal number of T-gates obtained by using the global phase invariant distance is less. Furthermore, we show that in case of approximate Quantum Fourier Transform, the error obtained by pruning rotation gates is less when measured in this distance.

研究の動機と目的

• グローバル位相不変距離の量子回路近似における合成可能性を確立すること。
• 作用素ノルムにおける誤差の和のバウンドと比較して、合成ユニタリの誤差バウンドをよりきびしく導出すること。
• Rzゲートにわたる近似誤差を効率的に分散させることで、Tカウントを最適化すること。
• グローバル位相不変距離を用いることで、QFT や QPE のような近似量子アルゴリズムにおけるリソースコストが低減することを示すこと。

提案手法

• グローバル位相不変距離とフロベニウスノルムの関係を導出する。
• グローバル位相不変距離がユニタリ乗算およびテンソル積の下で合成可能であることを証明する。
• 成分誤差の関数として全体誤差の解析的バウンドを開発する。
• これらのバウンドをRzゲート近似のケースに適用し、誤差を均等に分配するとTカウントが最小化されることを示す。
• シミュレーテッド・アニーリングと解析的近似を用いて、誤差分散戦略の妥当性を検証する。
• 結果を近似QFTおよびQPEに適用し、グローバル位相不変距離と作用素ノルムの下での性能を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ合成（乗算およびテンソル積）の下で、グローバル位相不変距離は合成可能か？
• RQ2 作用素ノルムにおける誤差の和のバウンドと比較して、この距離の下で合成ユニタリのよりきびしい誤差バウンドを導出できるか？
• RQ3 近似回路におけるTカウントを最小化するために、Rzゲート間で誤差を均等に分配することが最適か？
• RQ4 誤差をグローバル位相不変距離で測定することで、近似QFTおよびQPEにおけるリソースコストが低減するか？
• RQ5 時間発展演算やその他の量子アルゴリズムにおいて、この距離がゲート数の観点から実用的利点を提供できるか？

主な発見

• グローバル位相不変距離はユニタリ乗算およびテンソル積の下で合成可能であり、誤差伝搬解析が可能になる。
• グローバル位相不変距離における全体誤差バウンドは、作用素ノルムにおける誤差の和のバウンドよりもきびしい。
• Rzゲート近似において、誤差を均等に分配するとTカウントが最小化され、この戦略によりリソースコストが低減する。
• 近似QFTでは、回転ゲートを pruning した場合、グローバル位相不変距離で測定した誤差が作用素ノルムよりも小さくなる。
• Rz(α)を用いたQPEでは、誤差測定にグローバル位相不変距離を用いることで、Tゲートの数を減らせる。
• 結果から、グローバル位相不変距離を用いることで、特にQFT や QPE のようなモジュラーなアルゴリズムにおいてTカウントを低減できる可能性がある。