[論文レビュー] Composition Functionals in Fractional Calculus of Variations

Agnieszka B. Malinowska, Moulay Rchid Sidi Ammi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2010

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 35被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、ジュマリエの修正されたリーマン–リウビル分数階微分を用いて、合成関数 functional を含む分数階変分法問題におけるオイラー＝ラグランジュ方程式および自然境界条件を導出する。積および商の関数 functional の最適性条件を確立し、非局所的で分数階の系に一般化された古典的変分法を確立し、最適制御および物理学への応用を含む。

ABSTRACT

We prove Euler-Lagrange and natural boundary necessary optimality conditions for fractional problems of the calculus of variations which are given by a composition of functionals. Our approach uses the recent notions of Riemann-Liouville fractional derivatives and integrals in the sense of Jumarie. As an application, we get optimality conditions for the product and the quotient of fractional variational functionals.

研究の動機と目的

• 古典的変分法を、複数の関数 functional の合成を含む非古典的分数量問題へ拡張すること。
• 非局所的で分数階の依存性を持つため、古典理論では解けない変分問題に対処すること。
• このような合成関数 functional のための必要十分最適性条件（オイラー＝ラグランジュ方程式および自然境界条件）を導出すること。
• 具体的な応用例として、分数量変分 functional の積および商に対して適用すること。
• 物理学および制御理論における実用的分数量変分問題を解くためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• 正則化された積分形式による定義に基づく、ジュマリエの修正されたリーマン–リウビル分数階微分および積分を用いる。
• 分数階の部分積分公式を適用する：∫ₐᵇ u⁽ᵅ⁾(t)v(t)(dt)ᵅ = α![u(t)v(t)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u(t)v⁽ᵅ⁾(t)(dt)ᵅ。
• 異なる次数 αᵢ を持つ複数の分数階積分からなる一般関数 functional H に対するオイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• 端点の値が固定されていない場合の自然境界条件を、関数 functional の変分を用いて導出する。
• 一般結果を積関数 functional（系理 3.4）および商関数 functional（系理 3.6）に適用し、具体的な分数階微分方程式を導出する。
• α = ½ を持つ2つの分数階積分の積を含む具体的な例題を解き、分数階微分方程式を用いて候補解（最小化関数）を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 functional H が複数の分数階積分の合成であるような分数量変分法問題において、必要十分最適性条件は何か？
• RQ2 分数量設定において、オイラー＝ラグランジュ方程式および自然境界条件は、古典的場合とどのように異なるか？
• RQ3 2つの分数量変分関数 functional の積に対する具体的な最適性条件は何か？
• RQ4 2つの分数量変分関数 functional の商に対する最適性条件は何か？
• RQ5 一般枠組みは、与えられた境界条件を持つ具体的な分数量変分問題を解くためにどのように応用できるか？

主な発見

• 一般合成関数 functional に対するオイラー＝ラグランジュ方程式は、被積分関数および関数 functional H の微分を含む、分数階微分方程式の連立系として導出される。
• 積関数 functional の場合、オイラー＝ラグランジュ方程式は α₁(b−t)ᵅ⁻¹(f_y − f_v⁽ᵅ⁾) + α₂(b−t)ᵅ⁻¹(f_y − f_v⁽ᵅ⁾) = 0 であり、端点が自由な場合には自然境界条件を伴う。
• 商関数 functional の場合、オイラー＝ラグランジュ方程式は α₁(b−t)ᵅ⁻¹(f_y − f_v⁽ᵅ⁾) − Qα₂(b−t)ᵅ⁻¹(f_y − f_v⁽ᵅ⁾) = 0 であり、Q = ℱ₁[𝑥̃]/ℱ₂[𝑥̃] である。対応する自然境界条件を伴う。
• αᵢ → 1 の極限において、結果は [2] で得られた商関数 functional の古典的オイラー＝ラグランジュ方程式および自然条件に戻る。
• ℒ[x] = (∫₀¹ (x⁽¹ᐟ²⁾(t))²(dt)¹ᐟ²)(∫₀¹ t¹ᐟ² x⁽¹ᐟ²⁾(t)(dt)¹ᐟ²) という例題では、(x⁽¹ᐟ²⁾(t))⁽¹ᐟ²⁾ = −Q₁√π/(4Q₂) を満たす候補最小化関数が得られ、Q₁ および Q₂ は解から計算される。
• 方程式系 (13) が解かれ、Q₁ および Q₂ が決定され、(t−τ)⁻¹ᐟ² カーネルを含む積分を用いた、候補最小化関数 x̃(t) の明示的表現が得られる。