[論文レビュー] Composition limits and separating examples for some Boolean function complexity measures

Justin Gilmer, Michael Saks+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、無限個の関数からなる族を構築することで、基本的なブール関数の複雑さの測度——特に証明書複雑度 $C(f)$、分数証明書複雑度 $C^*(f)$、ブロック感度 $bs(f)$——の最適な分離を確立する。この族において $C(f)$ は $bs(f)$ に対して二次的に増加し、$C^*(f)$ に対しても最良の既知の分離が達成される。また、$bs^*(f)$ と $bs(f)$ の間で $3/2$-分離を証明し、関数の合成と、関数構造から導かれる $2\times2$ 行列のスペクトル解析を用いて、長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

Block sensitivity ($bs(f)$), certificate complexity ($C(f)$) and fractional certificate complexity ($C^*(f)$) are three fundamental combinatorial measures of complexity of a boolean function $f$. It has long been known that $bs(f) \leq C^{\ast}(f) \leq C(f) =O(bs(f)^2)$. We provide an infinite family of examples for which $C(f)$ grows quadratically in $C^{\ast}(f)$ (and also $bs(f)$) giving optimal separations between these measures. Previously the biggest separation known was $C(f)=C^{\ast}(f)^{\log_{4.5}5}$. We also give a family of examples for which $C^{\ast}(f)=Ω(bs(f)^{3/2})$. These examples are obtained by composing boolean functions in various ways. Here the composition $f \circ g$ of $f$ with $g$ is obtained by substituting for each variable of $f$ a copy of $g$ on disjoint sets of variables. To construct and analyse these examples we systematically investigate the behaviour under function composition of these measures and also the sensitivity measure $s(f)$. The measures $s(f)$, $C(f)$ and $C^{\ast}(f)$ behave nicely under composition: they are submultiplicative (where measure $m$ is submultiplicative if $m(f \circ g) \leq m(f)m(g)$) with equality holding under some fairly general conditions. The measure $bs(f)$ is qualitatively different: it is not submultiplicative. This qualitative difference was not noticed in the previous literature and we correct some errors that appeared in previous papers. We define the composition limit of a measure $m$ at function $f$, $m^{\lim}(f)$ to be the limit as $k$ grows of $m(f^{(k)})^{1/k}$, where $f^{(k)}$ is the iterated composition of $f$ with itself $k$-times. For any function $f$ we show that $bs^{\lim}(f) = (C^*)^{\lim}(f)$ and characterize $s^{\lim}(f), (C^*)^{\lim}(f)$, and $C^{\lim}(f)$ in terms of the largest eigenvalue of a certain set of $2 imes 2$ matrices associated with $f$.

研究の動機と目的

• 証明書複雑度 $C(f)$、分数証明書複雑度 $C^*(f)$、ブロック感度 $bs(f)$ の間の最大分離に関する長年の未解決問題を解消すること。
• 関数の合成におけるブロック感度の乗法的性質に関する、文献における誤りを是正すること。
• 複雑さの測度 $m$ に対して $m^{\lim}(f) = \lim_{k\to\infty} m(f^{(k)})^{1/k}$ として定義される合成極限 $m^{\lim}(f)$ を導入し、分析すること。
• 反復関数合成における感度、証明書複雑度、ブロック感度の漸近的挙動を、$2\times2$ 行列の固有値を用いて特徴付けること。

提案手法

• 制御された複雑さの性質を持つ基本関数を用いて、反復関数合成 $f^{(k)} = f \circ f^{(k-1)}$ を用いて分離例を構築する。
• 複雑さの測度の反復における漸近的成長率を分析するため、合成極限 $m^{\lim}(f)$ を定義する。
• 関数合成における $s(f)$、$C(f)$、$C^*(f)$、$bs(f)$ の挙動を分析：$s$、$C$、$C^*$ については乗法的性質を示すが、$bs$ についてはそうではない。
• 証明書複雑度 $C^*(f)$ と $C(f)$ の分析を、関数のプロファイルと割り当て選択子から導かれる特定の $2\times2$ 行列の最大固有値の上限に還元する。
• スペクトル理論を用いて、$s^{\lim}(f)$、$(C^*)^{\lim}(f)$、$C^{\lim}(f)$ を関連する行列の最大固有値の言いかえで特徴付ける。
• この手法を用いて、$bs(f_n) = O(n)$ かつ $bs^*(f_n) = \Omega(n^{3/2})$ を満たす明示的な関数 $f_n$ を構成し、$\mathrm{crit}(bs^*, bs) \geq 3/2$ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 証明書複雑度 $C(f)$ とブロック感度 $bs(f)$ の間で、最大でどれほど分離可能か？
• RQ2 関数の合成を用いて、$C(f)$、$C^*(f)$、$bs(f)$ の間で最適な分離を達成できるか？
• RQ3 なぜブロック感度は関数の合成において乗法的でないのか？ これは過去の結果にどのような影響を与えるか？
• RQ4 反復合成における複雑さの測度の漸近的挙動をどのように特徴付けることができるか？
• RQ5 臨界指数 $\mathrm{crit}(bs^*, bs)$ の最もタイトな下界は何か？

主な発見

• この論文は、$C(f) = \Theta(bs(f)^2)$ を満たす無限個のブール関数の族を構築し、証明書複雑度とブロック感度の間で最適な二次分離を達成する。
• 無限に多くの $n$ に対して $C^*(f) = \Omega(bs(f)^{3/2})$ を証明し、$\mathrm{crit}(bs^*, bs) \geq 3/2$ を確立する。これはタイトな境界である。
• 合成極限 $m^{\lim}(f)$ は、$f$ に関連する $2\times2$ 行列の最大固有値に等しいことが示され、漸近的複雑さの成長のスペクトル的特徴付けが得られる。
• ブロック感度は関数の合成において乗法的でないことが判明し、これは以前の文献で見過ごされていた事実であり、それによって過去の誤りが説明できる。
• 感度 $s(f)$、証明書複雑度 $C(f)$、分数証明書複雑度 $C^*(f)$ は関数の合成において乗法的であり、弱い条件下で等号が成り立つが、$bs(f)$ はそうではない。
• $bs_0^*(g_n) = \Omega(\sqrt{n})$ かつ $bs_0(g_n) \leq 3$ を満たす関数 $g_n$ の明示的構成が提供され、$f_n = \mathrm{OR}_n \circ g_n$ を用いて $3/2$-分離が達成される。