[論文レビュー] Composition of simplicial complexes, polytopes and multigraded Betti numbers

Anton Ayzenberg|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、反復的シンプレクティック・ウェッジと多面体の結合を一般化する単体的複体上の合成作用を導入し、生成関数を用いた合成複体の多重次数付きベッチ数の公式を確立する。主な貢献は、入力複体の関数としてこれらのベッチ数の閉形式表現を提供することであり、神経複体と一般化された多面体の $h$-多項式への応用を含む。

ABSTRACT

For a simplicial complex K on m vertices and simplicial complexes K1,...,Km a composed simplicial complex K(K1,...,Km) is introduced. This construction generalizes an iterated simplicial wedge construction studied by A. Bahri, M. Bendersky, F. R. Cohen and S. Gitler and allows to describe the combinatorics of generalized joins of polytopes P(P1,...,Pm) defined by G. Agnarsson. The composition defines a structure of an operad on a set of finite simplicial complexes. We prove the following: (1) a composed complex K(K1,...,Km) is a simplicial sphere iff K is a simplicial sphere and Ki are the boundaries of simplices; (2) a class of spherical nerve-complexes is closed under the operation of composition (3) finally, we express multigraded Betti numbers of K(K1,...,Km) in terms of multigraded Betti numbers of K, K1,...,Km using a composition of generating functions.

研究の動機と目的

• 単体的複体上の新しい合成作用を定義し、反復的シングレット・ウェッジと多面体結合を一般化すること。
• 合成複体と入力複体の一般化された結合との間のホモトピー同値を確立すること。
• 生成関数を用いて、合成複体の多重重複ベッチ数を入力複体のベッチ数の関数として表現すること。
• 合成複体が単体的球面または球的神経複体である条件を特定すること。
• 合成複体の $h$-多項式および $q$-多項式の公式を導出し、それらをベッチ数とスターリング＝ライスナー環に関連付けること。

提案手法

• 合成単体的複体 $K(K_1,\ldots,K_m)$ を組合せ的および多面体的結合構成によって定義する。
• $K(K_1,\ldots,K_m) \simeq K * K_1 * \cdots * K_m$ をホモトピー同値として証明する。
• 生成関数を用いて、合成複体の多重重複ベッチ数を入力複体の生成関数の積として表現する。
• 合成複体の $q$-多項式と入力複体の $q$-多項式の合成との間の関係を確立する。
• 特殊ケースとして $\partial\Delta_{[l]}$ およびゴースト頂点複体を適用し、既知の結果を再現する。
• 二重次数付きベッチ数と $h$-多項式の関係を用いて、$h_{lK}(t)$ を $h_K(t)$ の関数としての公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 合成単体的複体 $K(K_1,\ldots,K_m)$ が単体的球面であるのはいつか？
• RQ2 球的神経複体のクラスは合成作用に関して閉じているか？
• RQ3 合成複体 $K(K_1,\ldots,K_m)$ の多重重複ベッチ数は、$K, K_1, \ldots, K_m$ のそれらからどのように計算できるか？
• RQ4 合成複体の $q$-多項式とその成分の $q$-多項式との関係は何か？
• RQ5 一般化された多面体 $P(P_1,\ldots,P_m)$ の $h$-多項式は、$P, P_1, \ldots, P_m$ の $h$-多項式とどのように関係するか？

主な発見

• 合成複体 $K(K_1,\ldots,K_m)$ が単体的球面であるための必要十分条件は、$K$ が単体的球面であり、かつ各 $K_i$ が単体の境界であることである。
• 単体的球面のクラスは合成作用に関して閉じていないが、球的神経複体のクラスは合成作用に関して閉じている。
• 合成複体 $K(K_1,\ldots,K_m)$ の多重重複ベッチ数は、入力複体の生成関数の積として与えられる：$\tilde{b}_{K(K_1,\ldots,K_m)}(s,t) = \tilde{b}_K(s^{-1}, s\tilde{b}_{K_1}(s,t), \ldots, s\tilde{b}_{K_m}(s,t))$。
• $\partial\Delta_{[m]}(K_1,\ldots,K_m)$ の $q$-多項式は、$q_{\partial\Delta_{[m]}(K_1,\ldots,K_m)}(t) = q_{K_1}(t) \cdots q_{K_m}(t)$ を満たす。
• 任意の空でない複体 $K$ と $L$ に対して、反復的合成の $q$-多項式は $q_{K(L,\ldots,L)}(t) = q_K(q_L(t))$ を満たす。
• $l$ 重の一般化された多面体 $lK = K(l,\ldots,l)$ の $h$-多項式は、$h_{lK}(t) = (1 + t + \cdots + t^{l-1})^{m-n} h_K(t^l)$ を満たす。