[論文レビュー] Composition operators on reproducing kernel Hilbert spaces with analytic positive definite functions

Masahiro Ikeda, Isao Ishikawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2019

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、スペクトル密度にややのろい減衰および正則性条件が課された場合、再生核ヒルベルト空間（RKHS）に付随する解析的正定値関数と関連する有界な合成作用素を誘導するのは、唯一アフィン写像であることを確立している。主な洞察は、重み付き$L^2$空間における直交多項式の零点の漸近的挙動と有界性を結びつけるものであり、従来の結果を有限次整関数に限局していたのを、無限次の場合へと拡張している。

ABSTRACT

In this paper, we specify what functions induce the bounded composition operators on a reproducing kernel Hilbert space (RKHS) associated with an analytic positive definite function defined on $\mathbf{R}^d$. We prove that only affine transforms can do so in a pretty large class of RKHS. Our result covers not only the Paley-Wiener space on the real line, studied in previous works, but also much more general RKHSs corresponding to analytic positive definite functions where existing methods do not work. Our method only relies on an intrinsic properties of the RKHSs, and we establish a connection between the behavior of composition operators and the asymptotic properties of the greatest zeros of orthogonal polynomials on a weighted $L^2$-spaces on the real line. We also investigate the compactness of the composition operators and show that any bounded composition operators cannot be compact in our situation.

研究の動機と目的

• 解析的正定値関数によって生成されるRKHS上で、どの写像が有界な合成作用素を誘導するかを同定すること。
• 従来、パレイ＝ウィーナー空間や有限次整関数に限られていた結果を、無限次生成関数を有するより広いクラスのRKHSへと拡張すること。
• 有界な合成作用素と、重み付き$L^2$空間上での直交多項式の最大零点の漸近的挙動との間の関係を確立すること。
• このような合成作用素のコンパクト性を検討し、提示された設定下ではそれらがコンパクトにはなり得ないことを示すこと。

提案手法

• 解析は、特にスペクトル密度$w$の逆関数によって定義されるノルム構造を特徴とするRKHSの内在的性質に依拠している。
• 点$x\mapsto e^{y^T\xi}$による乗算作用素の、$L^2(w)$上の次数$n$多項式への作用の作用素ノルムの$n$乗根を表す量$\mathcal{E}_n^+(y;w)$および$\mathcal{E}_n^-(y;w)$を導入した。
• 作用素の有界性を特徴付けるために、重み$w$を正の定数倍の範囲で保つ線形写像の群$\mathcal{G}(w)$を用いた。
• 重み付き$L^2$空間の理論を用いた直交多項式の零点の漸近的解析と、複素解析および関数解析の結果を適用した。
• 証明技法は、有限次整関数理論に依存せず、代わりに$w$の減衰および正則性条件を用いて有界性条件を導出している。
• 量$\mathcal{E}_n^\pm(y;w)$の成長とカーネルのスペクトル挙動との関係を確立し、有界作用素を生じるのはアフィン写像に限ることを結論づけた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの写像$f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d$が、解析的正定値カーネルを有するRKHS上で有界な合成作用素を誘導するか？
• RQ2 古典的な結果（有界な合成作用素を誘導するのはアフィン写像に限る）は、パレイ＝ウィーナー空間や有限次整関数に限らず、より広い範囲に拡張可能か？
• RQ3 重み付き$L^2$空間上での直交多項式の最大零点の漸近的性質が、合成作用素の有界性を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 無限次整関数を生成関数とするRKHSにおいて、有界な合成作用素を誘導するのはアフィン写像に限るか？
• RQ5 このようなRKHS上での有界な合成作用素はコンパクトになり得るか？

主な発見

• $k = \widehat{w}$であり、$w$が3つの仮定（A）、（B）、（C）を満たすとき、有界な合成作用素を誘導するのは、$A \in \mathcal{G}(w)$を満たす唯一のアフィン写像$f(x) = Ax + b$に限る。
• 合成作用素の有界性は、$n \to \infty$における$\mathcal{E}_n^\pm(y;w)$の一様有界性によって特徴づけられ、作用素ノルムの成長と直交多項式の零点の漸近的挙動が結びつけられている。
• 本稿では、このようなRKHS上では、有界な合成作用素がコンパクトにはなり得ないことが証明されている、すなわち無限次元の設定下でも同様である。
• 結果は、$\widehat{w}$が無限次であるような例（例えば、$w(\xi) = \sum_{n=-\infty}^\infty \mathbf{1}_{[-1/2+n,1/2+n)}(\xi)/|n|!$）を含む、無限次整関数によって生成されるRKHSにも適用可能である。
• （B）および（C）の十分条件が提示されており、$w(\xi) = \prod_{i=1}^d e^{-Q_i(|\xi_i|)}$の形で、$Q_i$がややのろい正則性および成長条件を満たす場合を含む。
• 従来の結果を一般化する枠組みを提供しており、有限次整関数の仮定を排除し、代わりに内在的なRKHSおよび直交多項式の解析を用いている。