[論文レビュー] Compositional Game Theory with Mixed Strategies: Probabilistic Open Games Using a Distributive Law

Neil Ghani, Clemens Kupke+2 more|Strathprints: The University of Strathclyde institutional repository (University of Strathclyde)|Sep 15, 2020

Game Theory and Voting Systems被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、離散的確率分布モナドを用いて混合戦略へと構成的ゲーム理論を拡張し、確率的オープンゲームの対称モノイダル圏を構築する。混合戦略をモデル化するために確率的プレイ関数を必要としない関係的 Kleisli 上げを導入し、その結果得られる枠組みが並列および逐次合成、ファンクター、純粋ゲームと確率的ゲームの間の随伴をサポートすることを証明する。

ABSTRACT

We extend the open games framework for compositional game theory to encompass also mixed strategies, making essential use of the discrete probability distribution monad. We show that the resulting games form a symmetric monoidal category, which can be used to compose probabilistic games in parallel and sequentially. We also consider morphisms between games, and show that intuitive constructions give rise to functors and adjunctions between pure and probabilistic open games.

研究の動機と目的

• 有限ゲームにおけるナッシュ均衡の存在を保証するために不可欠な混合戦略を含めるために、構成的ゲーム理論を拡張すること。
• 純粋オープンゲームが均衡を欠く可能性があるという制限を、離散的分布モナドを介して確率的戦略プロファイルを統合することで克服すること。
• 対称モノイダル構造を用いて、確率的ゲームの逐次的および並列的合成をサポートする圏的枠組みを構築すること。
• ゲーム理論的構造を保存するように写像を定義し、純粋ゲームと確率的ゲームの圏の間のファンクターおよび随伴を可能にすること。
• 分布モナドを超えるモナド的構造を用いて、相関均衡やその他の効果的ゲーム理論的現象をモデル化する基盤を確立すること。

提案手法

• 混合戦略をモデル化するために、集合圏 $\mathsf{Set}$ 上の離散的確率分布モナド $\mathcal{D}$ を用い、$\mathcal{D}(X)$ は集合 $X$ 上の有限台付き確率分布の集合を表す。
• 純粋戦略に関する述語を確率分布に関する述語に変換するため、関係的 Kleisli 上げを導入し、確率的戦略プロファイルの非自明な取り扱いを可能にする。
• 戦略集合は標準的であるが、プレイ関数と利得関数がモナド構造を介して分布を扱えるように上げられた形で定義される、確率的オープンゲームを $(\Sigma_{\mathcal{G}}, P_{\mathcal{G}}, C_{\mathcal{G}}, E_{\mathcal{G}})$ のタプルとして定義する。
• 結果集合 $R$ および $S$ に $\mathcal{D}$-代数構造を導入し、期待効用計算を可能にし、確率的推論と整合性を保つ。
• モナドの二重強度を用いて、確率的ゲームを分布空間上の純粋ゲームへ写像する決定化ファンクター $\Delta^\prime$ を構成する。
• 純粋ゲームから確率的ゲームへの完全忠実埋め込み $\Theta$ を定義し、それが右随伴 $\Psi$ を持つことを証明し、純粋ゲームと確率的ゲームの圏の間の圏的随伴を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構成的ゲーム理論を、オープンゲームの圏的構造を保ちつつ混合戦略へと拡張する方法は何か？
• RQ2 確率的プレイ関数を必要とせずに混合戦略をモデル化するための正しい圏的上げ機構は何か？
• RQ3 得られる確率的オープンゲームの枠組みは、並列および逐次合成に関して閉じた対称モノイダル圏を形成できるか？
• RQ4 純粋ゲームと確率的ゲームの間のファンクターおよび随伴はどのように生じるのか？それらのゲーム理論的意味は何か？
• RQ5 この枠組みは、相関均衡や退職ゲームなどの他の効果的ゲーム理論的現象を一般化してモデル化できるか？

主な発見

• 確率的オープンゲームの圏 $\mathsf{Game}_{\mathsf{Prob}}$ は、並列および逐次合成に関して対称モノイダル圏をなす。
• 関係的 Kleisli 上げにより、純粋戦略に関する述語を確率分布に関する述語に変換でき、混合戦略の非自明な取り扱いが可能になる。
• 決定化ファンクター $\Delta^\prime$ は、確率的ゲームを分布空間上の純粋ゲームへ写像し、$\Sigma_{\Delta^\prime(\mathcal{G})} = \mathcal{D}(\Sigma_{\mathcal{G}})$ を満たす。さらに、$\Delta^\prime: \mathsf{Game}_{\mathsf{Prob}} \to \mathsf{Game}_{\mathsf{Pure}}^\prime$ へのファンクターとして拡張可能である。
• 埋め込みファンクター $\Theta: \mathsf{Game}_{\mathsf{Pure}}^\prime \to \mathsf{Game}_{\mathsf{Prob}}$ は右随伴 $\Psi$ を持ち、純粋ゲームと確率的ゲームの圏の間の圏的双対性を確立する。
• この枠組みは、マッチングペニーとマーケット参入ゲームといった、混合戦略均衡を用いたゲーム理論の代表的例を成功裏にモデル化できる。
• 結果は $\mathcal{D}$ の特定の性質に依存しないほど一般であるため、退職ゲームのための例外モナドなど、他のモナドへの応用可能性が示唆される。