[論文レビュー] Compound Wishart Matrices and Noisy Covariance Matrices: Risk Underestimation

Beno it Collins, David McDonald+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2013

Random Matrices and Applications被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、有限サンプルからの共分散行列推定におけるノイズによって引き起こされる最適ポートフォリオ最適化におけるリスク低減の問題を是正するスケーリング手法を提案する。ランダム行列理論（RMT）および複合ウィシャルト行列の性質を用いて、独立および相関のあるリターンの両方に対して有効な、漸近的に不偏なポートフォリオリスク推定量を導出する。シミュレーションおよび実市場データにおいて、リスク予測の精度が顕著に向上することを示している。

ABSTRACT

In this paper, we obtain a property of the expectation of the inverse of compound Wishart matrices which results from their orthogonal invariance. Using this property as well as results from random matrix theory (RMT), we derive the asymptotic effect of the noise induced by estimating the covariance matrix on computing the risk of the optimal portfolio. This in turn enables us to get an asymptotically unbiased estimator of the risk of the optimal portfolio not only for the case of independent observations but also in the case of correlated observations. This improvement provides a new approach to estimate the risk of a portfolio based on covariance matrices estimated from exponentially weighted moving averages of stock returns.

研究の動機と目的

• 有限サンプルからの共分散行列推定に起因するノイズが引き起こすマークウィッツポートフォリオ最適化におけるリスク低減問題を解消すること。
• 従来のリスク是正手法を独立なリターンに限らず、相関のあるリターンプロセスへと拡張すること。
• MLE や EWMA を含む一般の共分散行列推定量に基づき、一般化された漸近的不偏な最適ポートフォリオリスク推定量を構築すること。
• 高次元ポートフォリオ設定におけるリスク予測精度を向上させる、スケーラブルでデータ駆動の手法を提供すること。
• シミュレーションおよび実際の金融データを用いて、提案手法のスケーリング技術の有効性を実証すること。

提案手法

• 直交不変性およびワインガルテン計算を活用し、複合ウィシャルト行列の逆行列のモーメントを導出する。
• ランダム行列理論（RMT）を適用し、有限サンプルにおける共分散行列推定に起因するポートフォリオリスク推定の漸近的バイアスを定量化する。
• 推定された共分散行列の逆行列に生じる漸近的ノイズ効果を除去することで、期待されるリスク推定値を是正するスケーリング係数を導出する。
• 最大尤度推定量（MLE）および指数加重移動平均（EWMA）共分散行列の両方に対して、スケーリング手法を適用する。
• モンテカルロシミュレーションおよび限られた観測期間を有する30銘柄の実市場データを用いて、手法の妥当性を検証する。
• マークウィッツリスク式において推定された共分散行列の逆行列を用い、導出されたスケーリング係数を適用することで不偏なリスク推定値を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元設定における有限サンプルでの共分散行列推定が、最適ポートフォリオのリスクにどのようにバイアスをもたらすか？
• RQ2 ランダム行列理論および複合ウィシャルト行列の性質を用いて、ポートフォリオリスク推定の漸近的バイアスを是正できるか？
• RQ3 提案されたスケーリング手法は、独立および相関のある資産リターンの両方においてリスク予測精度を向上させるか？
• RQ4 観測数が限られた実金融データ（例：n=30銘柄でT=50）に適用した場合、このスケーリング手法の有効性はいかがなものか？
• RQ5 リスク推定誤差を低減する観点から、従来のノイズ除去フィルタリング手法に比べて、この是正法は優れているか？

主な発見

• n=30、T=50 の実データにおいて、スケーリング前の予測リスク対真のリスクの平均比が 0.631 であったのを、スケーリング後は 0.998 にまで低下させた。
• λ=0.98 の EWMA 共分散行列において、スケーリング前の予測リスク対真のリスクの平均比が 0.64 であったのを、スケーリング後は 1.008 に改善し、ほぼ不偏な推定が達成された。
• 本手法は、i.i.d. リターンに限らず、相関のあるリターンプロセスに対しても、ポートフォリオリスク推定の漸近的不偏性を達成している。
• スケーリングによりリスク比の標準偏差が顕著に低減され、n および T が増加するに従い推定の安定性が向上した。
• 低ランクノイズを共分散行列から除去する従来のフィルタリング手法に比べ、スケーリングによる改善効果が顕著に優れている。
• MLE や EWMA を含むさまざまな共分散推定量に対しても、本是正法は有効であり、リスク管理分野への広範な適用可能性を示している。