[論文レビュー] Compressed Blind De-convolution

Venkatesh Saligrama, Manqi Zhao|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2009

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、未知の安定な自己回帰（AR）システムによってフィルタリングされたスパース信号の圧縮盲deconvolutionのための凸最適化フレームワークを提案する。畳み込みの可換性を活用し、トーペリッツセンシング行列を用いることで、弱い安定性およびスパarsity条件の下で、ℓ₁最小化を用いてO(k log n)のランダム測定値から、スパース入力および未知のフィルタを信頼性高く回復可能となる。

ABSTRACT

Suppose the signal x is realized by driving a k-sparse signal u through an arbitrary unknown stable discrete-linear time invariant system H. These types of processes arise naturally in Reflection Seismology. In this paper we are interested in several problems: (a) Blind-Deconvolution: Can we recover both the filter $H$ and the sparse signal $u$ from noisy measurements? (b) Compressive Sensing: Is x compressible in the conventional sense of compressed sensing? Namely, can x, u and H be reconstructed from a sparse set of measurements. We develop novel L1 minimization methods to solve both cases and establish sufficient conditions for exact recovery for the case when the unknown system H is auto-regressive (i.e. all pole) of a known order. In the compressed sensing/sampling setting it turns out that both H and x can be reconstructed from O(k log(n)) measurements under certain technical conditions on the support structure of u. Our main idea is to pass x through a linear time invariant system G and collect O(k log(n)) sequential measurements. The filter G is chosen suitably, namely, its associated Toeplitz matrix satisfies the RIP property. We develop a novel LP optimization algorithm and show that both the unknown filter H and the sparse input u can be reliably estimated.

研究の動機と目的

• 圧縮され、ノイズを含む測定値から、スパース入力信号と未知の安定な線形時不変（LTI）フィルタを再構築する課題に対処すること。
• 変換行列が正規直交ではなく、かつ未知であるような状況に、圧縮センシング理論を拡張すること、特にスパース過程がフィルタリングされた場合を対象とすること。
• スパース入力と未知のフィルタを同時に推定する凸最適化アルゴリズムを構築し、理論的性能保証を提供すること。
• 現実的な信号モデル下で、安定的かつ正確な回復に必要な最小測定数を特定すること。
• ℓ₁最小化手法がスパース信号およびフィルタパラメータの正確またはほぼ正確な回復を保証する条件を同定すること。

提案手法

• 観測信号を、kスパース入力と、既知の次数を持つ未知の安定ARフィルタとの畳み込みとしてモデル化する。
• ランダムなガウスまたはベルヌーイ分布のトーペリッツセンシング行列を用いて、フィルタリングされた信号を圧縮し、畳み込みの可換性により構造を保持する。
• 圧縮信号の差分がスパースであるという事実を活用して、問題を標準的な圧縮センシングフレームワークに変換する。
• 線形測定制約の下でスパース入力のℓ₁ノルムを最小化する凸最適化問題を定式化し、耐障害性の高い回復を可能にする。
• 有限次数のARシステムのアンニヒレーティングフィルタ特性を活用して、未知パrameter数を削減し、同定可能性を向上させる。
• 適切な仮定の下で、トーペリッツ行列に対する制限等長性性質（RIP）と集中不等式を用いて、理論的回復保証を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 未知の安定ARフィルタによって汚損されたスパース信号が、少数のランダム線形測定値から回復可能か？
• RQ2 スパース入力および未知のフィルタの安定的かつ正確な回復に必要な最小測定数は何か？
• RQ3 構造的トーペリッツセンシング行列は、ℓ₁最小化が成功するために必要な制限等長性性質を保持するか？
• RQ4 異なるセンシング行列アンサンブル（ガウス対ベルヌーイ）および異なるフィルタ次数において、アルゴリズムの性能はどのように変化するか？
• RQ5 ℓ₁最小化手法がスパース入力およびフィルタパラメータの正確な回復を保証する条件は何か？

主な発見

• 提案されたℓ₁最小化アルゴリズムは、フィルタが安定的かつ次数が既知の下で、O(k log n)のランダム測定値からスパース入力および未知のARフィルタを正常に回復する。
• スパース性が強く、スパイクが十分に分離され、ノイズが有界な弱い条件下でも、高い確率で正確な回復を達成する。
• 数値実験では、同じ測定サイズにおいて、ベルヌーイ分布のトーペリッツセンシング行列がガウス分布のものよりも実験的成功率が優れていることが示された。
• 中程度のノイズレベル下でも、アルゴリズムは高い回復精度を維持し、m=50、n=200の条件下で、k=20までのスパarsityレベルにおいて成功率が90%を超える。
• ARモデルが安定性条件を満たさない場合（例：1次差分モデルにおけるα=1）、回復性能が著しく低下し、安定性仮定の必要性が確認された。
• フィルタ次数pが増加するにつれて成功率は低下するが、m=80、n=200のベルヌーイトーペリッツ行列を用いる場合、p ≤ 15では成功率が80%以上を維持する。