[論文レビュー] Compressed Decision Problems in Hyperbolic Groups

Derek F. Holt, Markus Lohrey+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 51被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、双曲的群における圧縮語問題、共役問題、同時共役問題、中心化子問題、ナップサック問題が多項式時間で解けることを確立している。主な貢献は、短いlex順に簡約された直線プログラムを多項式時間で計算するアルゴリズムであり、このクラスの群における複数の決定問題を効率的に解けるようにしている。

ABSTRACT

We prove that the compressed word problem and the compressed simultaneous conjugacy problem are solvable in polynomial time in hyperbolic groups. In such problems, group elements are input as words defined by straight-line programs defined over a finite generating set for the group. We prove also that, for any infinite hyperbolic group G, the compressed knapsack problem in G is NP-complete.

研究の動機と目的

• 双曲的群における圧縮語問題の多項式時間可解性を確立すること。
• この結果を共役問題、同時共役問題、中心化子問題、ナップサック問題の圧縮版に拡張すること。
• 無限の双曲的群において、圧縮ナップサック問題がNP完全であることを証明すること。
• 双曲的群の自己同型群および外部自己同型群における語問題が多項式時間で解けることを示すこと。
• 双曲的群において、直線プログラムで表された群元の短いlex順簡約のための基盤となるアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 任意の入力プログラムに対して、双曲的群において短いlex順に簡約された直線プログラムを計算する多項式時間アルゴリズムを開発する。
• 線形等周不等式と準凸性を含む双曲的群の幾何的性質を用いて、語長を束縛し、効率的な簡約を可能にする。
• グロモフの双曲性と自動構造の結果を適用することで、長さが有界な群元が定数時間で処理可能であることを保証する。
• 直線プログラム（SLP）技術を用いて群元をコンパクトに表現・操作し、積や共役の計算を効率的に行う。
• 共役および部分群解析を用いて、圧縮された同時共役問題と中心化子問題を、長さが有界な語問題に還元する。
• 定理6.6（ナップサック式の解のサイズが有界）を活用し、探索空間を入力長の指数関数的サイズに制限することで、SLP評価によるNP検証を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的群において、圧縮語問題は多項式時間で解けるか？
• RQ2 双曲的群において、圧縮された同時共役問題は多項式時間で解けるか？
• RQ3 双曲的群において、圧縮された中心化子問題は効率的に解けるか？
• RQ4 無限の双曲的群における圧縮ナップサック問題の計算量的複雑度は何か？
• RQ5 圧縮語問題の可解性は、双曲的群におけるAut(G)およびOut(G)の語問題の多項式時間可解性を示唆するか？

主な発見

• 任意の双曲的群における圧縮語問題は、直線プログラムの短いlex順簡約アルゴリズムにより多項式時間で解ける。
• 圧縮された同時共役問題は多項式時間で解ける。解が存在する場合、共役要素も多項式時間で計算可能である。
• 圧縮された中心化子問題は多項式時間で解ける。長さが有界な入力に対しては、中心化子の生成子を定数時間で計算可能である。
• 任意の無限の双曲的群において、圧縮ナップサック問題はNP完全であり、解は入力サイズの多項式関数で有界である。
• 双曲的群の自己同型群および外部自己同型群における語問題は、圧縮語問題および同時共役問題への還元により多項式時間で解ける。
• 短いlex順簡約のためのアルゴリズムは多項式時間で実行可能であり、準凸性や有界なねじれを含む双曲的群の幾何的・組合せ的性質に基づいている。