[論文レビュー] Compressed Sensing and Matrix Completion with Constant Proportion of Corruptions

Xiaodong Li|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2011

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 39被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、測定値または要素の一定割合が任意の悪意ある汚染を受ける状況下でも、圧縮センシングおよび行列補完のロバストな回復保証を確立する。精密化されたゴルフィングスキームと凸最適化を用いて、信号のスパarsityまたは行列のランクがそれぞれ O(m / log²n) または O(m / (n log²n)) にスケーリングする場合、ガウス分布またはサブガウス分布のセンシング行列およびサンプリングスキームのもとで、大規模な汚染が存在しても正確な回復が可能であることを証明する。

ABSTRACT

We improve existing results in the field of compressed sensing and matrix completion when sampled data may be grossly corrupted. We introduce three new theorems. 1) In compressed sensing, we show that if the m imes n sensing matrix has independent Gaussian entries, then one can recover a sparse signal x exactly by tractable \ell1 minimimization even if a positive fraction of the measurements are arbitrarily corrupted, provided the number of nonzero entries in x is O(m/(log(n/m) + 1)). 2) In the very general sensing model introduced in "A probabilistic and RIPless theory of compressed sensing" by Candes and Plan, and assuming a positive fraction of corrupted measurements, exact recovery still holds if the signal now has O(m/(log^2 n)) nonzero entries. 3) Finally, we prove that one can recover an n imes n low-rank matrix from m corrupted sampled entries by tractable optimization provided the rank is on the order of O(m/(n log^2 n)); again, this holds when there is a positive fraction of corrupted samples.

研究の動機と目的

• スパース信号または低ランク行列を回復する課題に、測定値または要素の一定割合が任意に汚染されている状況で対処すること。
• 既存の圧縮センシングおよび行列補完理論を、汚染の位置が事前に不明な大規模な汚染に対しても拡張すること。
• ゴルフィングスキームや制限等長性特性といった高度なツールを活用して、現実的な汚染モデルのもとでより緊密な回復境界を確立すること。
• スパarsityおよびランクの閾値における対数因子を低減することで、先行研究を改善し、近似的に最適なスケーリングを達成すること。
• 汚染が存在する状況下でも、ℓ₁最小化および核ノルム最小化を用いた理論的保証を提供すること。

提案手法

• 汚染された測定値を扱うために、非一様サイズのゴルフィングスキームを用いた修正された双対証明の構築を提案する。
• 凸最適化を用いる：スパース信号回復には ℓ₁最小化、低ランク行列回復には核ノルム最小化を用いる。
• 低ランクまたはスパース構造の接空間および法線空間への射影を含む、4つの主要な不等式を満たす双対行列の構築を行う。
• 確率的集中不等式を用いて、ランダムなサンプリングおよびガウス行列のもとで、双対証明の成分のスペクトルノルムおよび無限大ノルムを制限する。
• 先行研究と比較して、回復閾値における対数因子を低減するため、ゴルフィングスキームの精密な解析を適用する。
• ラデマッハ系列およびランダム射影の尾部確率を用いて、双対証明の構築における誤差項を制御することで、高確率での回復を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測定値の一定割合が任意に汚染されている場合、圧縮センシングにおいて正確な回復が保証可能か？
• RQ2 このような汚染モデル下で、正確に回復可能な信号の最大スパarsityレベルは何か？
• RQ3 行列補完を、一定割合の汚染された要素に対してもロバストにし、低ランク回復の保証を維持できるか？
• RQ4 汚染が存在する場合、必要なサンプル数はランクおよび次元に対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ5 精密化されたゴルフィングスキームを用いることで、既存の回復境界における対数因子を低減できるか？

主な発見

• ガウス分布のセンシング行列を用いた圧縮センシングでは、m次元のスパース信号 x が、x の非ゼロ成分の数が O(m / (log(n/m) + 1)) 以下であれば、測定値の一定割合が任意に汚染されていても正確な回復が可能である。
• 独立同一分布のサブガウス成分を有する一般のセンシングモデルでは、信号の非ゼロ成分が O(m / log²n) 以下であれば、一定割合の汚染下でも正確な回復が成立する。
• 行列補完においては、核ノルム最小化を用いることで、n×n の低ランク行列が、ランクが O(m / (n log²n)) 以下であれば、サンプリングされた要素の一定割合が汚染されていても正確に回復可能である。
• 非一様サンプリングサイズを用いた提案されたゴルフィングスキームは、先行手法と比較して回復閾値における対数因子を低減し、より緊密な境界を達成する。
• ゴルフィングスキームによる双対証明の構築により、凸最適化問題の解が高確率で元の信号または行列を正確に回復することが保証される。
• 解析により、双対証明の成分のスペクトルノルムおよび無限大ノルムが高確率で制御されることを示しており、提示されたスパarsityおよびランク条件のもとで正確な回復が可能である。