[論文レビュー] Compressed Sensing for Analog Signals

Bernard G. Bodmann, Axel Flinth+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2018

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 39被引用数 16

ひとこと要約

本稿は再生核ヒルベルト空間を用いた圧縮センシングフレームワークを提案し、原子ノルムを用いてスパース性を定義することで、可算でない辞書においてスパースな信号の安定的・ロバストな復元を可能にする。主な貢献は、ノイズやベースミスの下でも、アナログ信号の正確な復元を保証する理論的枠組みを提供することであり、バンドリミテッド信号や短時間フーリエ変換にスパースな信号に応用可能である。

ABSTRACT

In this paper we develop a general theory of compressed sensing for analog signals, in close similarity to prior results for vectors in finite dimensional spaces that are sparse in a given orthonormal basis. The signals are modeled by functions in a reproducing kernel Hilbert space. Sparsity is defined as the minimal number of terms in expansions based on the kernel functions. Minimizing this number is under certain conditions equivalent to minimizing an atomic norm, the pre-dual of the supremum norm for functions in the Hilbert space. The norm minimizer is shown to exist based on a compactness argument. Recovery based on minimizing the atomic norm is robust and stable, so it provides controllable accuracy for recovery when the signal is only approximately sparse and the measurement is corrupted by noise. As applications of the theory, we include results on the recovery of sparse bandlimited functions and functions that have a sparse inverse short-time Fourier transform.

研究の動機と目的

• 離散的圧縮センシングの限界を克服し、連続的・アナログ信号に特化した理論を構築すること。
• 無限次元の再生核ヒルベルト空間に信号をモデル化することで、従来のスパース復元におけるベースミス問題を克服すること。
• 離散化を回避するため、非可算無限の辞書を用いたアナログ信号のスパース表現のフレームワークを確立すること。
• スパース性がわずかに近い信号やノイズで汚染された信号に対しても、安定的かつロバストな復元保証を提供すること。
• 古典的圧縮センシングを無限次元設定に拡張しつつ、再構成における制御可能な精度を維持すること。

提案手法

• アナログ信号を再生核ヒルベルト空間（RKHS）内の関数としてモデル化し、核関数が表現系を形成する。
• スパース性を、信号を表現するために必要な核関数の最小数として定義し、これは原子ノルムの最小化と同等である。
• 復元を凸最適化問題として定式化：線形測定値を満たす原子ノルムの最小化。
• RKHSにおける上界ノルムの前双対を原子ノルムとして用い、コンパクト性の議論により最小化子の存在を保証する。
• 小さなノイズや近似的なスパース性が、小さな再構成誤差にしか与えないと証明することで、復元の安定性とロバスト性を確立する。
• 具体的な応用例として、バンドリミテッド関数や短時間フーリエ変換にスパースな信号を扱い、適切な核構造を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圧縮センシングを離散的・有限次元のベクトルから、無限次元空間における連続的・アナログ信号へどのように一般化できるか？
• RQ2 表現辞書が非可算無限である場合、アナログ信号のスパース性の適切な定義は何か？
• RQ3 スパース性がわずかに近い信号やノイズで汚染された測定値からの復元が、安定的かつロバストに達成可能か？
• RQ4 再生核ヒルベルト空間において、原子ノルムをどのように定義し、最小化することで正確な復元を可能にするか？
• RQ5 連続的辞書におけるスパース表現を持つアナログ信号に対する理論的復元保証は何か？

主な発見

• 原子ノルム最小化手法により、信号がわずかにスパースであり、測定値がノイズで汚染されても、アナログ信号の安定的・ロバストな復元が可能である。
• 再生核ヒルベルト空間におけるコンパクト性の議論により、原子ノルムの最小化子の存在が保証される。
• アナログ設定におけるスパース性は、信号を表現するために必要な核関数の項の最小数として定義され、これは原子ノルムの最小化と同等である。
• バンドリミテッド関数や短時間フーリエ変換にスパースな信号に対して、適切な測定条件下で理論的に正確な復元が可能である。
• 連続体上で直接作業することにより、離散化を回避し、信号のアナログ構造を保存する。
• 無限次元問題の数値的可解性は議論されていないが、特定のケース（例えば、フーリエ測定や区分的線形測定）では、有限次元還元により正確な復元が達成可能である。