[論文レビュー] Compressed Sensing Matrices from Fourier Matrices

Guangwu Xu, Zhiqiang Xu|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2013

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、カッツの手法による乗法的和推定を用いて、フーリエ行列から決定的構成された圧縮センシング（CS）行列を提示し、デヴォアの二値CS行列と同等のスパース性バインディングを達成する。この手法により、近似的に互いに偏りのない基底（AMUBs）が得られ、数値実験では確率的サンプリングを上回る性能を示す。$k \lesssim \sqrt{m}$ の条件下で $k$-スパース信号の回復に理論的保証が与えられる。

ABSTRACT

The class of Fourier matrices is of special importance in compressed sensing (CS). This paper concerns deterministic construction of compressed sensing matrices from Fourier matrices. By using Katz' character sum estimation, we are able to design a deterministic procedure to select rows from a Fourier matrix to form a good compressed sensing matrix for sparse recovery. The sparsity bound in our construction is similar to that of binary CS matrices constructed by DeVore which greatly improves previous results for CS matrices from Fourier matrices. Our approach also provides more flexibilities in terms of the dimension of CS matrices. As a consequence, our construction yields an approximately mutually unbiased bases from Fourier matrices which is of particular interest to quantum information theory. This paper also contains a useful improvement to Katz' character sum estimation for quadratic extensions, with an elementary and transparent proof. Some numerical examples are included.

研究の動機と目的

• フーリエ行列から安定的かつ強健なスパース信号回復を保証する決定的手法を構築すること。
• 先行の決定的構成を上回る、フーリエベースのCS行列のスパース性バインディングを改善し、理論的限界 $k = O(\sqrt{m})$ に近づけること。
• 構築されたCS行列と近似的に互いに偏りのない基底（AMUBs）との関連を確立し、量子情報理論における関連性を示すこと。
• 行列次元の柔軟性を高めつつも、強固な理論的性能保証を維持する構成的フレームワークを提供すること。

提案手法

• カッツの乗法的和推定を二次拡張に応用し、構築されたフーリエベースの行列における相互非整合性を制御する。
• 有限体上の対数写像を用いて、正規化された $N \times N$ フーリエ行列 $\mathcal{F}^{(N)}$ から行を選択し、決定的部分フーリエ行列 $\Phi$ を構成する。
• 有限体 $\mathbb{F}_q$ 上で $\log_g(t - \alpha) \mod N$ の対数写像を用いて、行選択のインデックス集合 $M$ を生成し、低相互非整合性を確保する。
• 代数的数論および指数和推定を用いて、得られた行列 $\Phi$ の相互非整合定数 $\mu$ を上限付ける。
• $\ell_1$ 最小化が $k$-スパース信号を回復できるスパース性 $k$ の理論的境界を導出し、$k < \frac{1}{2}(\frac{1}{\mu} + 1)$ を示す。
• OmpおよびBP回復アルゴリズムを用いて、$m \times N$ 行列（$m = q$, $N = q^2 - 1$ または $N = \frac{p^3 - 1}{p - 1}$）に対して構成を数値的に検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的行選択により、フーリエ行列から得られるCS行列の相互非整合性がウェルチ境界に近づくことは可能か？
• RQ2 決定的フーリエベースCS行列のスパース性バインディングを、バイナリ構成が達成した $k = O(\sqrt{m})$ の閾値にまで向上させることは可能か？
• RQ3 提案された構成により、近似的に互いに偏りのない基底（AMUBs）が得られ、量子情報理論においてどのような関連性を持つのか？
• RQ4 スパース信号回復の成功確率という観点で、決定的部分フーリエ行列は確率的サンプリングに比べてどの程度優れているか？

主な発見

• 提案された決定的構成により、$\mu$ がカッツの乗法的和推定で制御され、$k \lesssim \sqrt{m}$ を満たすスパース性バインディングが達成され、デヴォアの二値行列の結果と同等となる。
• この手法により、量子情報理論および量子状態トモグラフィーにおいて注目される、近似的に互いに偏りのない基底が構築される。
• 数値実験では、OMPおよびBP回復において、決定的部分フーリエ行列が確率的サンプリングを一貫して上回る性能を示し、理論的スパース性閾値を超過しても安定である。
• $q = 29$, $m = 29$, $N = 840$ の場合、決定的行列は $k \leq 10$ でBP回復において100%の成功率を達成し、確率的サンプリングを上回った。
• $q = 19$, $m = 19$, $N = 381$ の場合、決定的行列は $k \leq 20$ において $\Phi_T^T \Phi_T$ の安定した固有値統計を維持し、強いRIP類似性を示した。
• 本稿では、二次拡張におけるカッツの乗法的和推定の、より明快で応用に適した初等的証明を提供した。