[論文レビュー] Compressed sensing of low-rank plus sparse matrices

Jared Tanner, Simon Vary|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2020

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、低ランク成分とスパース成分の和である行列の圧縮センシングについて理論的保証を確立し、凸および非凸アルゴリズムを用いて、$\mathcal{O}(r(m+n-r) + s)\log(mn/s)$ 個の線形測定値からその行列を安定して回復できることを示している。主な貢献は、非一様性制約の下で制限付き等長性定数（RIC）が有界であることを証明し、漸近的に最適な汚染耐性を実現する可能性を示したことにある。

ABSTRACT

Expressing a matrix as the sum of a low-rank matrix plus a sparse matrix is a flexible model capturing global and local features in data popularized as Robust PCA (Candes et al., 2011; Chandrasekaran et al., 2009). Compressed sensing, matrix completion, and their variants (Eldar and Kutyniok, 2012; Foucart and Rauhut, 2013) have established that data satisfying low complexity models can be efficiently measured and recovered from a number of measurements proportional to the model complexity rather than the ambient dimension. This manuscript develops similar guarantees showing that $m imes n$ matrices that can be expressed as the sum of a rank-$r$ matrix and a $s$-sparse matrix can be recovered by computationally tractable methods from $\mathcal{O}(r(m+n-r)+s)\log(mn/s)$ linear measurements. More specifically, we establish that the low-rank plus sparse matrix set is closed provided the incoherence of the low-rank component is upper bounded as $μ

研究の動機と目的

• 低ランクとスパース成分の和からなる行列への圧縮センシング理論の拡張。このモデルはロバストPCAや動的シーン分離において中心的な役割を果たす。
• 半定値計画法や非凸しきい値処理アルゴリズムなどの計算的に実行可能な手法を用いて、このような行列の理論的回復保証を確立すること。
• 先行研究の回復保証で見られる、スパース成分のサポートに均等な行・列分布を仮定するような制限的な仮定を排除すること。
• ランク、スパース性、非一様性の固定漸近的スケーリング下で、問題サイズに依存しない形で測定演算子の制限付き等長性定数（RIC）が有界であることを示すこと。
• 動的ビデオ分離やマルチスペクトルイメージングといった実用的応用において、回復性能の向上を実証すること。

提案手法

• 低ランク成分の特異ベクトルに非一様性制約を課した、低ランク＋スパース行列の集合 $\operatorname{LS}_{m,n}(r,s,\mu)$ を導入し、$\mu < \sqrt{mn}/(r\sqrt{s})$ の条件下でこの集合が閉じていることを保証する。
• 測定数が $\mathcal{O}(r(m+n-r) + s)\log(mn/s)$ に比例する場合、ガウス分布および高速ジョンソン＝リンデンストラウス変換（FJLT）測定における制限付き等長性定数（RIC）が有界であることを証明する。
• 半定値計画法および2つの非凸アルゴリズム（NIHTおよびNAHT）が、RICが十分に小さい場合には真の行列に収束することを示す。
• 測度集中不等式を用いて、一般化可能なさまざまなサンプリング方式に適用可能な、確率的測定演算子のRICを評価する。
• 非一様性パラメータ $\mu$ を用いて、低ランク成分とスパース成分の相関を制御する、新規の解析フレームワークを採用する。
• 合成データ、動的ビデオの前景／背景分離、航空機搭載ハイパースペクトルイメージングの数値実験を通じて、理論的結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低ランク＋スパース行列は、環境次元ではなく自由度に比例する測定数から安定して回復可能か？
• RQ2 低ランク成分の非一様性にどのような条件を課すと、低ランク＋スパース行列の集合が閉じており、RICが有界に保たれるか？
• RQ3 非凸アルゴリズム（NIHTやNAHT）は、凸法と同等の測定スケール下で、このような行列を証明可能に回復可能か？
• RQ4 提案フレームワークは、行・列にわたる汚染の均等分布を仮定しないロバストPCAにおいて、漸近的に最適な汚染耐性を達成するか？
• RQ5 実世界の画像応用において、低ランク＋スパースモデルの回復性能は、低ランクのみのモデルに比べて優れているか？

主な発見

• 集合 $\operatorname{LS}_{m,n}(r,s,\mu)$ は $\mu < \sqrt{mn}/(r\sqrt{s})$ のとき閉じており、RICの理論的解析が可能になる。
• ガウス分布およびFJLT測定における測定演算子の制限付き等長性定数（RIC）は、測定数が $\mathcal{O}(r(m+n-r) + s)\log(mn/s)$ に比例する場合に有界である。
• 半定値計画法および非凸アルゴリズム（NIHT、NAHT）は、RICが十分に小さい場合に、低ランク＋スパース行列を証明可能に回復する。
• 本フレームワークはロバストPCAにおいて漸近的に最適な汚染耐性 $\alpha = \mathcal{O}(1/(\mu r))$ を達成し、先行研究と異なりサポートの分布に関する仮定を不要にした。
• マルチスペクトルイメージングでは、低ランク＋スパースモデルが低ランクのみのモデル（38.9 dB）に対してPSNR 39.1 dBを達成し、局所的な画像ディテールに顕著な改善が見られた。
• 動的ビデオ分離では、フルビデオサンプリングに比べて測定数を3分の1に減らしても、移動物体の回復精度にほぼ同等の性能を示した。