[論文レビュー] Compressed Sensing with Coherent and Redundant Dictionaries

Emmanuel J. Candès, Yonina C. Eldar+2 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2010

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 3被引用数 43

ひとこと要約

この論文は、ℓ₁解析最適化を用いて、高々重複性が高く、相関が強い辞書においても、圧縮センシングが信号を成功裏に回復できることを確立している。標準のRIPを、非正規直交性を要件としない一般化した、辞書用の制限等長性条件（D-RIP）を導入している。主な貢献は、この条件下で安定な回復が保証されることの証明であり、高速で構造的なセンシング行列を用いた画像処理や信号処理分野への実用的応用を可能にしている。

ABSTRACT

This article presents novel results concerning the recovery of signals from undersampled data in the common situation where such signals are not sparse in an orthonormal basis or incoherent dictionary, but in a truly redundant dictionary. This work thus bridges a gap in the literature and shows not only that compressed sensing is viable in this context, but also that accurate recovery is possible via an L1-analysis optimization problem. We introduce a condition on the measurement/sensing matrix, which is a natural generalization of the now well-known restricted isometry property, and which guarantees accurate recovery of signals that are nearly sparse in (possibly) highly overcomplete and coherent dictionaries. This condition imposes no incoherence restriction on the dictionary and our results may be the first of this kind. We discuss practical examples and the implications of our results on those applications, and complement our study by demonstrating the potential of L1-analysis for such problems.

研究の動機と目的

• 実世界の応用で一般的な、過剰な（overcomplete）かつ相関の強い辞書においてスパースな信号を扱う圧縮センシング理論のギャップを埋める。
• 正規直交基底や非正規直交基底に限定される標準の圧縮センシングの制限を克服する。
• センシング行列が辞書用に一般化された制限等長性条件を満たす場合に、安定かつロバストな信号回復を保証する理論的枠組みを構築する。
• この文脈においてℓ₁解析が有効であることを示し、幾何的・数値的性能の両面でℓ₁合成を上回ることを実証する。
• O(n log n)の行列ベクトル積とO(m log n)の記憶容量を維持しながら、回復保証が得られる高速で構造的なセンシング行列（例：ランダム符号を乗じた部分DFT）の使用を可能にする。

提案手法

• 過剰で相関の強い辞書を扱えるように一般化された、辞書用の制限等長性条件（D-RIP）を提案する。
• D-RIP条項を、辞書Dにおけるスパース表現を持つ信号にセンシング行列Aを適用したときの乖離の上限として定義する。
• ℓ₁解析最小化を用いる：信号fと辞書Dに対して、‖D* f‖₁を最小化し、‖A f − y‖₂ ≤ εを満たす。
• センシング行列Aが特定のスパースレベルまでD-RIPを満たしていれば、ℓ₁解析により信号が安定に回復されることを証明する。Dが相関を有していても成立する。
• ランダム符号行列を用いて、標準のRIPを満たす行列（例：部分DFT）をD-RIPを満たすものに変換し、高速な乗算と低記憶量を維持する。
• ジョンソン＝リンデンストラウス型の議論を用いて、サブサンプルドフーリエ行列にランダム符号を乗じたような高速変換が、最適な測定回数でD-RIPを満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圧縮センシングは、正規直交基底や非正規直交基底に限定されず、高々重複性が高く相関の強い辞書においても、スパース信号を回復できるか？
• RQ2 特に相関の強い場合に適用可能な、辞書用に適した制限等長性条件（RIP）の一般化は何か？
• RQ3 新しいD-RIP条件下で、ℓ₁解析がスパース信号に対して安定な回復保証を有するか？
• RQ4 部分DFTなどの高速で構造的なセンシング行列が、この新しい枠組みにおいても効果的に使用可能か？
• RQ5 過剰な辞書においてスパースな信号を扱う場合、ℓ₁解析は幾何的構造と実験的性能の両面でℓ₁合成を上回るか？

主な発見

• 本論文は、辞書の非正規直交性を要件としない標準RIPの一般化であるD-RIP条件を導入し、相関の強い過剰な辞書に対しても理論的保証を可能にする。
• センシング行列AがD-RIPを満たしていれば、ℓ₁解析最小化により信号が安定に回復され、誤差境界が信号の尾部と測定ノイズに比例することが証明された。
• D-RIPは、サブサンプルドフーリエ行列にランダム符号行列を乗じたような高速で構造的な行列に対しても満たされ、O(n log n)の行列ベクトル積とO(m log n)の記憶容量を実現する。
• D-RIP下での安定回復に必要な測定回数はO(s log⁴ n)であり、標準のRIP行列を用いた圧縮センシングの最適スケーリングと一致する。
• 数値的証拠と幾何的解析により、過剰な辞書においてスパースな信号を扱う場合、ℓ₁解析がℓ₁合成を上回る回復品質を示した。
• 本結果により、過剰な辞書が自然に現れる画像修復やマルチコンポonent信号モデリングなどの実用的問題への圧縮センシングの適用範囲が拡張された。