[論文レビュー] Compressed sensing with corrupted Fourier measurements

Dongcai Su|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、スパース信号 x₀ と不正なノイズ f₀ を、b = Ax₀ + f₀ のフーリエ測定値から再重み付け l1 最小化法により回復することを提案する。ここで f₀ は正の非ゼロエントリ数を有する。n が素数であり、x₀ にスパース性以外の追加仮定がなく、m = O(card(x₀) log n log n) の測定値数があれば、高確率で正確な回復が可能であることを証明する。

ABSTRACT

This paper studies a data recovery problem in compressed sensing (CS), given a measurement vector b with corruptions: b=Ax0+f0, can we recover x0 and f0 via the reweighted l1 minimization: minimize |x| + lambda*|f| subject to Ax+f=b? Here the m by n measurement matrix A is a partial Fourier matrix, x0 denotes the n dimensional ground true signal vector, f0 denotes the m-dimensional corrupted noise vector, it is assumed that a positive fraction of entries in the measurement vector b are corrupted by the non-zero entries of f0. This problem had been studied in literatures [1-3], unfortunately, certain random assumptions (which are often hard to meet in practice) are required for the signal x0 in these papers. In this paper, we show that x0 and f0 can be recovered exactly by the solution of the above reweighted l1 minimization with high probability provided that m>O(card(x0)log(n)log(n)) and n is prime, here card(x0) denotes the cardinality (number of non-zero entries) of x0. Except the sparsity, no extra assumption is needed for x0.

研究の動機と目的

• 測定ベクトルの正の一部が不正に破損している状況下で、フーリエ測定値からスパース信号を回復する課題に対処する。
• 従来の研究が信号 x₀ に対して強い、しばしば現実的でない確率的仮定を必要としていたという限界を克服する。
• スパース性と n の素数性という最小限の仮定の下で、x₀ と f₀ の両方の正確な回復を保証する理論的根拠を提供する。
• x₀ のスパース性と次元 n にのみ依存する回復条件を確立する。信号の構造的要件は不要である。

提案手法

• 回復問題を再重み付け l1 最小化として定式化：Ax + f = b を満たす条件下で、‖x‖₁ + λ‖f‖₁ を最小化する。
• 測定行列として部分フーリエ行列 A を使用し、フーリエドメインでのサンプリングをモデル化する。
• フーリエ行列の構造と素数次元の性質を活用して、非一様性と望ましい制限等方性性を保証する。
• 確率論的解析を用いて、与えられた条件下で最適化問題の解が高確率で x₀ と f₀ を正確に回復することを示す。
• 集中不等式と確率的行列理論を用いて回復誤差を評価し、必要な測定数の複雑さを確立する。
• l1 ノルムのスパース性促進特性を向上させるために、再重み付けスキームを導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパース性以外の追加構造的仮定がなく、信号に制限がない場合でも、フーリエ測定値からスパース信号と不正なノイズを正確に回復できるか？
• RQ2 測定値の正の一部が破損している場合、信頼性の高い回復に必要な最小測定数は何か？
• RQ3 n の素数性が、破損したフーリエ測定値における回復保証にどのように影響するか？
• RQ4 フーリエドメイン測定値に著しい破損がある状況下で、再重み付け l1 最小化法は標準的な l1 最小化法を上回る性能を示せるか？
• RQ5 提案されたフレームワーク下で、高確率での回復に必要な理論的測定数は何か？

主な発見

• 測定数 m が m = O(card(x₀) log n log n) を満たす場合、スパース信号 x₀ と不正なノイズベクトル f₀ の両方を高確率で正確に回復可能である。
• 回復保証は、信号 x₀ がスパースであることと n が素数であることの唯一の仮定に依存し、x₀ に対して追加の構造的または確率的仮定は不要である。
• 再重み付け l1 最小化法は、測定ベクトルの正の一部が破損している場合でも、信号と不正なノイズ成分を効果的に分離できる。
• 理論的測定数の複雑さは、信号やノイズのダイナミックレンジに依存せず、スパース性と次元にのみ依存する。
• 解析により、素数 n を持つ部分フーリエ行列は、提案された最適化フレームワーク下で安定的かつロバストな回復を支持することが確認された。
• 従来の研究から、信号に制限的な仮定を必要としなくなったことで、未知の信号構造を持つ実世界のシナリオへの適用性が向上した。