[論文レビュー] Compressed word problems for inverse monoids

Markus Lohrey|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2011

semigroups and automata theory参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、入力語をストレート・ライン・プログラム（SLP）で圧縮する方法を用いて、逆モノイドにおける圧縮語問題を調査する。自由逆モノイドのランクが2以上である場合、圧縮語問題はΠ²ᵖ（多項式階層の第二レベル）に完全であることが証明されている。一方、特定の有限イデムポテンス提示に対しては、通常の語問題がログスペースで解けるにもかかわらず、PSPACEに完全である。また、自由逆モノイドにおける有理部分集合の属 Membership 問題についてもPSPACEアルゴリズムが提示されており、これがPSPACEに完全であることが示されている。

ABSTRACT

The compressed word problem for a finitely generated monoid M asks whether two given compressed words over the generators of M represent the same element of M. For string compression, straight-line programs, i.e., context-free grammars that generate a single string, are used in this paper. It is shown that the compressed word problem for a free inverse monoid of finite rank at least two is complete for Pi^p_2 (second universal level of the polynomial time hierarchy). Moreover, it is shown that there exists a fixed finite idempotent presentation (i.e., a finite set of relations involving idempotents of a free inverse monoid), for which the corresponding quotient monoid has a PSPACE-complete compressed word problem. It was shown previously that the ordinary uncompressed word problem for such a quotient can be solved in logspace. Finally, a PSPACE-algorithm that checks whether a given element of a free inverse monoid belongs to a given rational subset is presented. This problem is also shown to be PSPACE-complete (even for a fixed finitely generated submonoid instead of a variable rational subset).

研究の動機と目的

• 入力語がストレート・ライン・プログラム（SLP）によって表現される逆モノイドにおける圧縮語問題の計算複雑性を分析すること。
• ランクが2以上の自由逆モノイドにおける圧縮語問題の正確な複雑性クラスを同定すること。
• 有限イデムポテンス提示によって定義される商モノイドにおける圧縮語問題が、通常の語問題よりもより複雑であるかどうかを調査すること。
• 自由逆モノイドにおける有理部分集合属 Membership 問題の複雑性を、圧縮入力のもとで確立すること。
• 自由モノイドや自由群と比較して、逆モノイドにおけるアルゴリズム的挙動（特に決定可能性と複雑性）の違いを明らかにすること。

提案手法

• 自由逆モノイドの要素を表現するためにムンツツリーを用い、ツリーの接合操作により効率的な語問題の解法を可能にする。
• 語の圧縮表現としてストレート・ライン・プログラム（SLP）を適用し、入力サイズを指数関数的に圧縮可能にする。
• 自由逆モノイドにおける圧縮語問題の上界を求めるために、ムンツの語問題アルゴリズムとリプトンおよびツァルクシュタインの自由群におけるログスペース結果を組み合わせる。
• 下界を示すために、SLPに基づく符号化技術を用いて、語問題へのサブセットサム問題の変種を還元する。
• SLPによって生成される語をシミュレートするために、多重集合の走行とラベリングを用いた、ムンツツリー言語を認識する木オートマトンBを構築する。
• 有理部分集合属 Membership 問題のPSPACE完全性を証明するため、問題を木オートマトン属 Membership 問題に還元し、PSPACEで計算可能な構成を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランクが有限で2以上の自由逆モノイドにおける圧縮語問題の計算複雑性は何か？
• RQ2 有限イデムポテンス提示によって定義される商モノイドにおける圧縮語問題は、通常の語問題よりも複雑性が高い可能性があるか？
• RQ3 自由逆モノイドにおける有理部分集合属 Membership 問題は、圧縮入力のもとで扱いやすいか？
• RQ4 SLPを入力表現として用いることで、自由モノイドや群と比較して、逆モノイドにおけるアルゴリズム的問題の複雑性が著しく上昇するか？
• RQ5 逆モノイドにおける圧縮語問題は多項式時間で解けるか、それ以上の複雑性クラスを必要とするか？

主な発見

• ランクが2以上の自由逆モノイドにおける圧縮語問題は、Π²ᵖ（多項式階層の第二普遍レベル）に完全である。
• ある固定された有限イデムポテンス提示に対して、その商モノイドにおける圧縮語問題はPSPACEに完全であるが、通常の語問題はログスペースで解ける。
• 自由逆モノイドの与えられた要素が与えられた有理部分集合に属するかどうかを判定するPSPACEアルゴリズムが提示された。
• 自由逆モノイドにおける有理部分集合属 Membership 問題は、有理部分集合が固定されていてもPSPACEに完全であることが示された。
• 自由逆モノイドにおける圧縮語問題は、自由モノイド（P時間）や自由群（P時間）と比較して、より複雑であることが判明した。これはΠ²ᵖ完全性に達しているためである。
• ムンツツリー言語を認識する木オートマトンBの構築がPSPACEで計算可能であることが示され、これにより木オートマトン属 Membership 問題への還元が可能になった。