[論文レビュー] Compressible, inviscid Rayleigh-Taylor instability

Yan Guo, Ian Tice|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2009

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、重力下における自由界面を有する二相流系における圧縮性で粘性のないレイノルズ＝ターレイの不安定性を分析する。変分的アプローチを用いて指数関数的に成長する正規モード解を構成し、フーリエ解析による合成を行うことで、著者らは線形化問題がソボレフ空間において適切でない（ill-posed）ことを証明した。これは、初期データに対する妥当な解の推定が存在しないことから、非線形問題に対しても同様の不適切性が生じることを示している。

ABSTRACT

We consider the Rayleigh-Taylor problem for two compressible, immiscible, inviscid, barotropic fluids evolving with a free interface in the presence of a uniform gravitational field. After constructing Rayleigh-Taylor steady-state solutions with a denser fluid lying above the free interface with the second fluid, we turn to an analysis of the equations obtained from linearizing around such a steady state. By a natural variational approach, we construct normal mode solutions that grow exponentially in time with rate like $e^{t \sqrt{\absξ}}$, where $ξ$ is the spatial frequency of the normal mode. A Fourier synthesis of these normal mode solutions allows us to construct solutions that grow arbitrarily quickly in the Sobolev space $H^k$, which leads to an ill-posedness result for the linearized problem. Using these pathological solutions, we then demonstrate ill-posedness for the original non-linear problem in an appropriate sense. More precisely, we use a contradiction argument to show that the non-linear problem does not admit reasonable estimates of solutions for small time in terms of the initial data.

研究の動機と目的

• 重力場下における自由界面を有する二相流系における圧縮性で粘性のないレイノルズ＝ターレイ不安定性を分析すること。
• 密度の大きい流体が密度の小さい流体の上にある状態で、安定な定常状態解を構成し、レイノルズ＝ターレイ条件を満たすこと。
• そのような定常状態の周囲での線形化問題を検討し、ソボレフ空間内での不適切性を確立すること。
• 非線形問題が小さな時間において、初期データに対する妥当な解の推定が存在しないことを示し、不適切性を示すこと。

提案手法

• 密度およびエンタルピーの垂直座標 $x_3$ にのみ依存するプロファイルを記述する常微分方程式を解くことにより、定常状態解を構成する。
• エンタルピー表現 $\partial_t u_\pm + u_\pm \cdot \nabla u_\pm + \nabla(h_\pm(\rho_\pm)) = -g e_3$ を用いて、定常状態解の周囲で圧縮性エーラー方程式を線形化する。
• 変分的アプローチを適用し、$e^{\lambda t} e^{i\xi \cdot x'}$ の形をとる正規モード解を構成する。ここで $\lambda \sim \sqrt{|\xi|}$ であり、指数的成長を示す。
• これらの正規モードをフーリエ合成することで、$H^k$-ノルムにおいて任意に速く成長する解を生成し、線形化問題の不適切性を証明する。
• 摂動された解と弱-*コンパクトネスに基づく背理法を用い、$k \geq 3$ の場合に非線形問題が $H^k$ において一様な推定を有しないことを示す。
• 強収束性 $H^{11/4}$ と境界上でのトレース定理を用い、摂動系の極限に移行し、エネルギー推定において矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形化された圧縮性で粘性のないレイノルズ＝ターレイ問題は、時間に関して任意の多項式より速く成長する解を許容するか？
• RQ2 圧縮性および重力の下で、$e^{t\sqrt{|\xi|}}$ のように成長する正規モード解を構成可能か？
• RQ3 このような急激に成長するモードの存在により、線形化問題がソボレフ空間内で不適切となるか？
• RQ4 このような病理的線形解の存在が、元の非線形問題に対しても不適切性を示唆するか？
• RQ5 非線形設定において、小さな時間における初期データに関する妥当な解の推定が存在しないことを証明可能か？

主な発見

• すべての $k \geq 3$ に対して、線形化問題は $H^k$ において不適切である。これは、正規モードのフーリエ合成によって、時間とともに任意に速く成長する解が存在するためである。
• 正規モード解は、空間周波数 $\xi$ を用いて $e^{t\sqrt{|\xi|}}$ のように指数関数的に成長し、すべてのスケールで不安定性を示す。
• 密度の大きい流体が密度の小さい流体の上にある状態で定常状態解が存在し、$P_-(z) > P_+(z)$ かつ $P_- \neq P_+$ を満たす。これによりレイノルズ＝ターレイ不安定性が発生する。
• 非線形問題は、摂動された解を用いた背理法により、初期データに関する妥当な解の推定が時間の小さな範囲でも存在しないことが示された。
• 極限解 $(\bar{\eta}^0, \bar{v}^0, \bar{\sigma}^0)$ は線形化方程式および境界・ジャンク条件を満たすが、エネルギー推定において矛盾を生じさせ、$k \geq 3$ に対して性質 $EE(k)$ の失敗を証明する。
• $H^{11/4}$ における強収束性および界面および境界上でのトレース収束性により、極限が正しいジャンク条件および境界条件を満たすことが確認された。