[論文レビュー] Compressible Navier-Stokes system : large solutions and incompressible limit

Raphaël Danchin, Piotr B. Mucha|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 24被引用数 60

ひとこと要約

本稿は、任意の大きな初期速度およびほぼ一定の初期密度を伴う2次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式について、大きな体積粘性係数のもとで強い解の全球的存在を確立する。体積粘性係数 ν = λ + 2μ が十分に大きいとき、解は全球的に正則であり、ν → ∞ の極限で非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の解に収束することを示し、臨界Besov空間枠組みとエネルギー正則性推定を用いる。

ABSTRACT

Here we prove the existence of global in time regular solutions to the two-dimensional compressible Navier-Stokes equations supplemented with arbitrary large initial velocity $v\\_0$ and almost constantdensity $\\varrho\\_0$, for large volume (bulk) viscosity. The result is generalized to the higher dimensional case under the additional assumption that the strong solution of the classical incompressible Navier-Stokes equations supplemented with the divergence-freeprojection of $v\\_0,$ is global. The systems are examined in $R^d$ with $d \\geq 2$, in the critical $\\dot B^s\\_{2,1}$ Besov spaces framework.

研究の動機と目的

• 任意の大きな初期速度およびほぼ一定の初期密度を伴う2次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対する強い解の全球的存在を確立すること。
• 体積粘性係数 ν → ∞ の極限における圧縮性系の非圧縮極限を分析し、非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に収束することを示すこと。
• 非圧縮系が射影初期データに関して全球的強い解を持つと仮定したもとで、次元 d ≥ 3 に対しても結果を拡張すること。
• 臨界Besov空間枠組み ẆḂs₂,₁(Rᵈ) を用いることで、鋭い正則性および安定性推定を保証すること。
• 特に L∞(R₊; ẆḂ⁰₂,₁) および L₁(R₊; ẆḂ²₂,₁) のノルムを含む、初期データノルムおよび粘性係数に関する解の定量的評価を提供すること。

提案手法

• 初期密度および初期速度に対して、臨界空間 ẆḂ⁰₂,₁(R²) および ẆḂ¹₂,₁(R²) を用い、最適な正則性および L² への埋め込みを保証する。
• 初期速度を発散なしおよびポテンシャル成分に分解するため、Leray-Helmholtz射影 P を適用し、非圧縮系の初期データとして V₀ = Pv₀ を得る。
• 同次Besov空間におけるストークス系の最大正則性推定、特に端点推定：‖V‖L∞(R₊;ẆḂ⁰₂,₁) + ‖Vt, μ∇²V‖L₁(R₊;ẆḂ⁰₂,₁) ≤ C(‖V·∇V‖L₁(R₊;ẆḂ⁰₂,₁) + ‖V₀‖ẆḂ⁰₂,₁) を用いる。
• Besov空間における補間不等式および積の法則を用いて非線形項を制御し、たとえば ‖V·∇V‖ẆḢ⁰₂,₁ ≤ C‖V‖ẆḂ¹/₂₂,₁‖∇V‖ẆḢ¹/₂₂,₁ のような評価を得る。
• V の L⁴(R₊;ẆḂ¹/₂₂,₁) ノルムに指数的依存性を示すGronwall型推定を用い、exp(C/μ⁴‖V₀‖ₗ²⁴) を含む評価を得る。
• 実補間およびブートストラップ論法を用いて、L²エネルギー解から臨界Besovクラスにおける全球解へ正則性を向上させ、∇²V ∈ L₁(R₊;ẆḢ⁰₂,₁) を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体積粘性係数 ν が適切に大きい条件下で、任意の大きな初期速度およびほぼ一定の初期密度を伴う2次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、全球的強い解が存在しうるか？
• RQ2 大きな体積粘性係数 ν = λ + 2μ は、圧縮性系の安定化および大規模データに対する全球存在の実現にどのような役割を果たすか？
• RQ3 体積粘性係数 ν → ∞ の極限において、圧縮性系の解はどのように振る舞い、非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の解に収束するか？
• RQ4 次元 d ≥ 3 において、射影初期速度を用いた非圧縮系が全球的解を持つと仮定したとき、全球存在は確立可能か？
• RQ5 臨界Besov枠組みにおいて、初期データノルムおよび粘性係数に関する解の明確な定量的評価は何か？

主な発見

• d = 2 の場合、体積粘性係数 ν が十分に大きい限り、任意の初期速度 v₀ ∈ ẆḂ⁰₂,₁(R²) および初期密度 ϱ₀ − 1 ∈ ẆḂ⁰₂,₁ ∩ ẆḢ¹₂,₁(R²) に対して、圧縮性ナビエ＝ストークス系の全球的強い解が存在する。
• 解は評価式 ‖v‖L∞(R₊;ẆḢ⁰₂,₁) + ‖vt, ∇²v‖L₁(R₊;ẆḢ⁰₂,₁) ≤ C‖V₀‖ẆḢ⁰₂,₁ exp(C/μ⁴‖V₀‖ₗ²⁴) を満たし、C は普遍定数である。
• 密度摂動 a = ϱ − 1 は a ∈ C(R₊; ẆḢ⁰₂,₁ ∩ ẆḢ¹₂,₁) ∩ L₂(R₊; ẆḢ¹₂,₁) を満たし、正則性および減衰を保証する。
• 非圧縮極限が正当化される：ν → ∞ のとき、圧縮性系の解は初期データ V₀ = Pv₀ を持つ非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の解に収束する。
• 次元 d ≥ 3 においては、非圧縮系が初期データ V₀ = Pv₀ に関してエネルギークラスで全球的強い解を持つと仮定すれば、全球存在が成立する。
• 解は安定性を示しており、v の発散なし成分と非圧縮解 V の差が、係数 ν¹/² を含む ẆḢ⁰₂,₁ ノルムで制御可能である。