[論文レビュー] Compressions and Pinchings

Jean-Christophe Bourin|ArXiv.org|Nov 22, 2002

Mathematics and Applications参考文献 10被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、任意の厳密収縮の列が、その演算子の本質的数値範囲に単位円板を含む限り、演算子 A のピンチング（ブロック対角圧縮）として実現可能であることを確立する。本質的数値範囲の性質と演算子圧縮技術を用いて、直交分解とユニタリ同値性を介してこのようなピンチングが可能であることを証明し、ヒルベルト空間における数値範囲と対角集合に関する既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

There exist operators $A$ such that : for any sequence of contractions $\{A_n\}$, there is a total sequence of mutually orthogonal projections $\{E_n\}$ such that $ΣE_nAE_n=\bigoplus A_n$.

研究の動機と目的

• 与えられた演算子のピンチング（ブロック対角圧縮）として、厳密収縮の列がいつ実現可能かを特定すること。
• 本質的数値範囲が演算子の圧縮可能性を決定する役割を調査すること。
• コンパクトな摂動と直交分解を用いて、無限次元ヒルベルト空間における数値範囲と対角集合に関する既知の結果を拡張すること。
• 対角集合の凸性と連結性に関する未解決の問題を解消すること。
• 正規演算子の列が単一の演算子のピンチングとしていつ実現可能かの条件を確立すること。

提案手法

• すべてのコンパクト演算子 K に対して A+K の数値範囲の閉包の共通部分として定義される本質的数値範囲 $W_e(A)$ を用いる。
• Parkerの定理を適用してユニタリ同値性を用いて対角成分を再分配し、本質的数値範囲内での値の均等分布を保証する。
• 再帰的分割法を用いて、与えられたコンパクトな凸集合 $\mathcal{D}$ に密に分布する A の対角成分を持つ正規直交基底を構成する。
• 非対角化可能な正規演算子を取り扱うために、Berg-Weyl-von Neumannの定理を用い、対角化可能なものに近似する。
• ヒルベルト空間を直交部分空間 $F_j$ に分解し、各 $F_j$ が $\mathcal{D}$ を含む本質的数値範囲を持つ圧縮 $A_{F_j}$ をサポートする。
• スケーリングと平均化の議論を用いて、有限個の圧縮の和として任意の厳密収縮 $X$ を対角ブロックとして実現し、$\|A_n\|<1$ の一様有界性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、厳密収縮の列が単一の演算子のピンチングとして実現可能か？
• RQ2 ある演算子の本質的数値範囲に含まれる数値範囲を持つ正規演算子は、常に圧縮として実現可能か？
• RQ3 演算子の対角集合 $\Delta(A)$ は常に凸であり、自己随伴 + コンパクト演算子に対しては非連結になり得るか？
• RQ4 1未塔の均一なノルム有界性が、収縮列のピンチングを可能にする役割は何か？
• RQ5 本質的数値範囲を用いて、所望のブロック対角構造をもたらす直交分解の存在を特徴づけられるか？

主な発見

• もし $\sup_n\|A_n\|<1$ かつ $W_e(A)$ が単位円板を含むならば、全射となる直交射影の列を用いて $\mathcal{P}(A) = \bigoplus A_n$ のピンチングが存在する。
• 任意の厳密収縮 $X$ に対して、$W_e(A) \supset \mathcal{D}$（閉単位円板）ならば、ある等長写像 $V$ が存在して $X = V^*AV$ が成り立つ。
• 任意の収縮 $X$ に対して、ユニタリの列 $\{U_n\}$ が存在し、$U_n^*AU_n \to X$ が弱オペレータ位相で収束する。
• ピンチング $\mathcal{P}(A) = \bigoplus A_n$ の存在の必要十分条件は、厳密な包含関係 $\bigcup_n W(A_n) \subset\subset W_e(A)$ である。
• 一様有界性 $\|A_n\|<1$ の仮定は、ハーフプロジェクションとトレースクラスの矛盾を示す反例により、取り除けない。
• 対角集合 $\Delta(A)$ は $\mathrm{int}\,W_e(A) \subset \Delta(A) \subset W_e(A)$ を満たし、実数演算子に対しては実軸に関して対称である。