[論文レビュー] Compressive sampling and dynamic mode decomposition

Steven L. Brunton, Joshua L. Proctor+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2013

Blind Source Separation Techniques参考文献 53被引用数 48

ひとこと要約

本論文は、重度に間引きまたは投影されたデータから動的モード分解（DMD）を計算するための圧縮サンプリングフレームワークを提案する。この手法により、ℓ₁最小化またはグリーディアルゴリズムを用いて、完全状態のDMD固有値の正確な回復と完全状態モードの再構成が可能となる。データとモードが変換基底でスパースである場合、ユニタリ変換および制限等長性（RIP）測定行列のもとでDMD固有値が保存される。

ABSTRACT

This work develops compressive sampling strategies for computing the dynamic mode decomposition (DMD) from heavily subsampled or output-projected data. The resulting DMD eigenvalues are equal to DMD eigenvalues from the full-state data. It is then possible to reconstruct full-state DMD eigenvectors using $\ell_1$-minimization or greedy algorithms. If full-state snapshots are available, it may be computationally beneficial to compress the data, compute a compressed DMD, and then reconstruct full-state modes by applying the projected DMD transforms to full-state snapshots. These results rely on a number of theoretical advances. First, we establish connections between the full-state and projected DMD. Next, we demonstrate the invariance of the DMD algorithm to left and right unitary transformations. When data and modes are sparse in some transform basis, we show a similar invariance of DMD to measurement matrices that satisfy the so-called restricted isometry principle from compressive sampling. We demonstrate the success of this architecture on two model systems. In the first example, we construct a spatial signal from a sparse vector of Fourier coefficients with a linear dynamical system driving the coefficients. In the second example, we consider the double gyre flow field, which is a model for chaotic mixing in the ocean.

研究の動機と目的

• 高次元システムにおける顕著に削減された測定値から正確な動的モード分解（DMD）を可能にすること。
• 測定値が圧縮サンプリングによって投影または間引きられた場合に、完全状態DMD固有値を保持すること。
• スパース回復技術を用いて、圧縮測定値から完全状態DMDモードを再構成すること。
• ユニタリ変換およびRIPを満たす測定行列のもとでのDMDの理論的不変性を確立すること。
• 流体力学および地球物理的流れの分野における計算的およびデータ取得上の利点を示すこと。

提案手法

• ユニタリ不変性を介して、DMD固有値を保持する圧縮サンプリングを用いて空間的データを間引きること。
• ℓ₁最小化またはグリーディアルゴリズムを適用して、圧縮測定値から完全状態DMDモードを再構成すること。
• 制限等長性（RIP）を用いて、データとモードが変換基底でスパースである場合の安定な回復を保証すること。
• データ行列にユニタリ変換を適用し、左または右のユニタリ操作のもとでDMD固有値が不変であることを証明すること。
• 完全状態スナップショットが利用可能な場合、全状態スナップショットに投影DMD変換を適用して完全状態DMDモードを再構成すること。
• 効率的なSVD計算を実現するため、圧縮DMDフレームワークにおけるスナップショット法を活用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圧縮サンプリングを用いてデータが間引きまたは投影された場合、DMD固有値は保持されるか？
• RQ2 どのような条件下で、圧縮測定値から完全状態DMDモードを再構成できるか？
• RQ3 ユニタリ変換におけるDMDの不変性は、圧縮センシングフレームワークにおけるロバストネスをどのように実現するか？
• RQ4 変換ドメインにおけるスパarsityが、少数の測定値からの正確なDMD再構成を可能にする役割は何か？
• RQ5 提案手法により、PIVや海洋・大気観測などの応用分野で、DMDの正確性を損なわず、データ取得負荷を軽減できるか？

主な発見

• 圧縮または投影されたデータから計算されたDMD固有値は、完全状態データからのものと同一であり、同じ低次元動的モデルが保証される。
• モードが変換基底でスパースである場合、ℓ₁最小化またはグリーディアルゴリズムを用いて、完全状態DMDモードを正確に再構成できる。
• DMDアルゴリズムは左および右のユニタリ変換に対して不変であり、固有値と特異値が保存される。
• 測定行列が制限等長性（RIP）を満たす場合、データとモードがスパースであるとDMD固有値の不変性が維持される。
• 本手法により、データ取得要件を顕著に削減可能（例：PIVにおいて）であり、DMD忠実度に損失がない。
• 完全状態スナップショットが利用可能な場合、事前にデータを圧縮し、圧縮DMDを計算した後、モード再構成を行うことで、計算上の利点が得られる。