[論文レビュー] Compressive sensing by white random convolution

Yin Xiang, LianLin Li+1 more|ArXiv.org|Sep 15, 2009

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、白色ランダム畳み込み followed by 固定サブサンプリングを用いた圧縮センシングフレームワークを提案し、信号基底とフーリエ基底間のコherenCeが有界である場合、スパース信号が高確率で信頼性高く回復可能であることを示している。主な結果として、m ≈ O(μ²S log(n/δ)^{3/2}) のサンプルが、確率1−δを超える回復を保証する。ここでμはコヒーレンス、Sはスパarsity、nは信号次元を表す。

ABSTRACT

A different compressive sensing framework, convolution with white noise waveform followed by subsampling at fixed (not randomly selected) locations, is studied in this paper. We show that its recoverability for sparse signals depends on the coherence (denoted by mu) between the signal representation and the Fourier basis. In particular, an n-dimensional signal which is S-sparse in such a basis can be recovered with a probability exceeding 1-delta from any fixed m~O(mu^2*S*log(n/delta)^(3/2)) output samples of the random convolution.

研究の動機と目的

• 決定的サンプリングパターンを用いた効率的で実装可能な圧縮センシングシステムの設計という課題に取り組む。
• 白色ランダム畳み込みと固定サブサンプリングの組み合わせが、スパース信号の安定的回復を達成できるかどうかを調査する。
• 与えられた基底においてSスパース信号の高確率回復を保証する条件を特定する。
• コヒーレンスμ、スパarsity S、信号次元n、失敗確率δを用いて、必要なサンプル数を定量化する。
• ランダムに選択されたサンプリング位置を避けるフレームワークを用いて、回復に関する理論的保証を提供する。

提案手法

• スパース信号に白色ノイズ波形を畳み込み核として適用し、スプレッドスペクトラム信号に変換する。
• ランダムなサンプリングパターンではなく、固定で事前に定義された位置で信号をサブサンプリングする。
• 測定プロセスを畳み込みカーネルと固定サブサンプリング行列に支配される線形変換としてモデル化する。
• 信号表現基底とフーリエ基底間のコヒーレンスμを、回復性能の上限を定める主要パラメータとして用いる。
• 有界コヒーレンスの仮定の下で、確率的解析を適用し、サンプル複雑度の上限を導出する。
• 集中不等式とランダム畳み込みの性質を活用し、高確率での回復保証を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 白色ランダム畳み込み followed by 固定サブサンプリングは、圧縮センシングにおいてスパース信号の安定的回復を達成できるか？
• RQ2 信号基底とフーリエ基底間のコヒーレンスμは、回復に必要なサンプル数にどのように影響するか？
• RQ3 Sスパース信号の高確率回復を保証するために必要な最小の固定サブサンプリング点数は何か？
• RQ4 ランダムなサンプリング位置の欠如が回復性能を損なう場合、どのような条件下で依然として保証可能か？
• RQ5 ランダム畳み込みを用いた決定的サンプリングパターンに対して、理論的回復保証を確立できるか？

主な発見

• 提案されたフレームワークにより、m ≈ O(μ²S log(n/δ)^{3/2}) の固定サブサンプリング点からSスパース信号の高確率回復が可能である。
• 回復確率は1−δを超えることが保証され、δは失敗率を制御する。
• 信号表現基底とフーリエ基底間のコヒーレンスμが、サンプル複雑度を決定づける中心的パラメータである。
• ランダムなサンプリングパターンを回避するため、実用的なハードウェア実装に適している。
• 理論的境界は、スパarsity Sに対して有利にスケーリングされ、信号次元nと逆失敗確率δの対数関数的に依存する。
• コヒーレンスμが有界であれば、決定的サンプリングであっても安定した回復性能を維持する。